|
În analiza matematică, seria infinită 1 - 2 + 3 - 4 + … este o serie alternată ai cărei termeni sunt numerele întregi pozitive succesive. Folosind notația însumării, suma parțială a primilor m termeni ai seriei poate fi exprimată ca:
Seria infinită diverge, adică șirul său de sume parțiale, (1, −1, 2, −2, …), nu tinde înspre o limită finită. Astfel de serii nu au sumă în sensul uzual al noțiunii de ”sumă” a seriei, lucru clarificat încă din 1755 de Leonhard Euler, în Institutiones Calculi Differentialis. Euler avea să enunțe, în același secol al XVIII-lea, ceea ce în opinia lui era o egalitate paradoxală:
În fapt, Euler mai notează și alte egalități ”dincolo de puterea de înțelegere” :
Înainte de Cauchy, în locul întrebării ”Cum să definim 1 - 1 + 1 - 1 + 1... ?”, întrebarea firească folosită era ”Ce este o sumă precum 1 - 1 + 1 - 1 + 1... ?” ceea a condus, alături de o anumită perplexitate a minții, către discuții deseori foarte aprinse.
Către sfârșitul secolului al XIX-lea, metodele de sumare ale seriilor divergente au început să fie studiate sistematic, constituind o nouă ramură a matematicii. Începând cu 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel și alții au investigat metode clar definite de a atribui o „sumă generalizată” unor serii divergente. Astfel pot fi menționate transformarea liniară sau metodele Cesàro, Abel, Borel, Euler, Norlund, Riesz sau Riemann. Multe dintre aceste metode de sumare vor aloca pentru 1 − 2 + 3 − 4 + … valoarea de 1⁄4. Sumarea lui Cesàro este unul dintre procedeele care nu furnizează nicio valoare.
Seria 1 − 2 + 3 − 4 + … este strâns legată de seria lui Grandi, 1 − 1 + 1 − 1 + …. Euler le-a tratat pe acestea ca fiind cazuri particulare ale seriei 1 − 2n + 3n − 4n + … pentru n arbitrar, o direcție de cercetare care extinde activitatea sa asupra problemei Basel spre ecuațiile funcționale a ceea ce este cunoscut în prezent ca funcția eta Dirichlet și funcția zeta Riemann.
|
- … turla bisericii din Prachatice (foto), Cehia, a fost declarată în 2005 arie naturală protejată cu suprafața de 90 m² datorită coloniei de lilieci prezentă acolo?
- … la alegerile municipale din São Paulo din 1959, candidatura lui Cacareco, o femelă de rinocer negru, a obținut mai multe voturi decât oricare dintre partidele politice participante?
- ... dramaturgul grec Eschil a murit, potrivit legendei, lovit în cap de o țestoasă aruncată de la înălțime de un vultur?
- ... vârful muntos cel mai îndepărtat de centrul Pământului nu este Everest, ci vulcanul Chimborazo din Ecuador?
- ... veșmântul purtat de Maica Tereza este protejat de o marcă înregistrată pentru a evita exploatarea sa comercială?
- ... în septembrie 1939, regele George al VI-lea al Regatului Unit se afla în război cu Germania Nazistă ca suveran al Marii Britanii, dar era neutru ca suveran al Irlandei de Nord?
- ... Farul Amédée din Noua Caledonie a fost aprins pentru prima dată la 15 noiembrie 1865, de ziua de nume a împărătesei Eugénie, soția lui Napoleon al III-lea?
|
