Ortogonální souřadnice

Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic $\mathbf {q}$, jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti $\mathrm {d} s^{2}$ může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.

$\mathrm {d} s^{2}=\sum _{k=1}^{D}\left(h_{k}\mathrm {d} q_{k}\right)^{2}$,

kde $D$ je dimenze prostoru a funkce $h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}$ (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru $g_{ik}(\mathbf {q} )$.

Vektory a integrály

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice $\mathrm {d} q_{m}$ jako $\mathrm {d} s_{m}=h_{k}\mathrm {d} q_{k}$. Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru $\mathbf {r}$ jako

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{k=1}^{D}h_{k}\mathrm {d} q_{k}\mathbf {e} _{k}$,

kde $\mathbf {e} _{k}$ jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic $q_{k}$. Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{k=1}^{D}A_{k}B_{k}$

Tedy např. integrál po křivce ${\mathcal {C}}$ má v ortogonálních souřadnicích tvar

$\int _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{k=1}^{D}\int _{\mathcal {C}}F_{k}h_{k}\mathrm {d} q_{k}$,

kde $F_{k}$ je složka vektoru $\mathbf {F}$ ve směru $k$-tého jednotkového vektoru $\mathbf {e} _{k}$

$F_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {F}$

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát $\mathrm {d} P=\mathrm {d} s_{i}\mathrm {d} s_{j}=h_{i}h_{j}\mathrm {d} q_{i}\mathrm {d} q_{j}$, kde $i\neq j$, a pro infinitezimální element objemu $\mathrm {d} V=\mathrm {d} s_{i}\mathrm {d} s_{j}\mathrm {d} s_{k}=h\mathrm {d} q_{i}\mathrm {d} q_{j}\mathrm {d} q_{k}$, kde $h\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ h_{i}h_{j}h_{k}$ a $i\neq j\neq k$. Např. integrál přes plochu ${\mathcal {S}}$ ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar

$\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\mathcal {S}}F_{1}h_{2}h_{3}\mathrm {d} q_{2}\mathrm {d} q_{3}+\int _{\mathcal {S}}F_{2}h_{3}h_{1}\mathrm {d} q_{3}\mathrm {d} q_{1}+\int _{\mathcal {S}}F_{3}h_{1}h_{2}\mathrm {d} q_{1}\mathrm {d} q_{2}$

Diferenciální operátory ve třech rozměrech

Gradient lze vyjádřit jako

$\nabla \Phi ={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}$

Laplaceův operátor má tvar

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]$

Operátor divergence se zapíše jako

$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]$

kde $F_{k}$ je $k$-tá složka vektoru $\mathbf {F}$.

Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru

$\nabla \times \mathbf {F} ={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]$

Příklady

Dvourozměrné ortogonální soustavy souřadnic

• Kartézská soustava souřadnic (dvourozměrná)
• Polární soustava souřadnic
• Eliptická soustava souřadnic
• Parabolická soustava souřadnic (dvourozměrná)
• Bipolární soustava souřadnic

Třírozměrné ortogonální soustavy souřadnic

• Kartézská soustava souřadnic (třírozměrná)
• Sférická soustava souřadnic
• Válcová soustava souřadnic
• Eliptická válcová soustava souřadnic

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Ortogonální souřadnice na Wikimedia Commons
• Článek o ortogonálních souřadnicích na MathWorld (anglicky)