Divisor de cero

En álxebra abstracta, un elemento $a$ dun anel $R$ chámase divisor de cero pola esquerda se existe un $x$ distinto de cero en $R$ tal que $ax = 0$ , ou de forma equivalente se o mapa de $R$ a $R$ que envía $x$ a $ax$ non é inxectivo.^[a] Do mesmo xeito, un elemento $a$ dun anel chámase divisor de cero pola dereita se existe un $y$ distinto de cero en $R$ tal que $ya = 0$ . Este é un caso parcial de divisibilidade nos aneis. Un elemento que é un divisor de cero pola esquerda ou pola dereita chámase simplemente divisor de cero. Un elemento $a$ divisor de cero á esquerda e á dereita chámase divisor de cero bilateral (o $x$ distinto de cero tal que $ax = 0$ pode ser diferente do $y$ distinto de cero tal que $ya = 0$ ). Se o anel é conmutativo, entón os divisores cero pola esquerda e pola dereita son iguais.

Un elemento dun anel que non é un divisor de cero pola esquerda (respectivamente, non é un divisor de cero pola dereita) chámase esquerdo regular ou esquerdo cancelábel (respectivamente, dereito regular ou dereito cancelábel). Un elemento dun anel que é cancelábel pola esquerda e pola dereita, e polo tanto non é un divisor cero, chámase regular ou cancelábel^[1]. Un anel non cero sen divisores de cero non triviais chámase a dominio.

Exemplos

No ring $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ , a clase de residuos ${\overline {2}}$ é un divisor de cero xa que ${\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}$ .
O único divisor de cero do anel $\mathbb {Z}$ de enteiros é $0$ .
Un elemento nilpotente dun anel distinto de cero é sempre un divisor de cero bilateral.
Un elemento idempotente $e\neq 1$ dun anel é sempre un divisor de cero bilateral, xa que $e(1-e)=0=(1-e)e$ .
O anel de matrices n × n sobre un corpo ten divisores de cero distintos do cero se n ≥ 2. Abaixo móstranse exemplos de divisores de cero no anel de matrices 2 x 2 :

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},$ ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Un produto directo de dous ou máis aneis distintos de cero sempre ten divisores de cero distintos de cero. Por exemplo, en $R_{1}\times R_{2}$ con cada $R_{i}$ distinto de cero, $(1,0)(0,1)=(0,0)$ , así que $(1,0)$ é un divisor de cero.
Sexa $K$ un corpo e $G$ un grupo. Supoñamos que $G$ ten un elemento $g$ de orde finita $n>1$ . Entón no grupo anel (módulo libre e ao mesmo tempo anel) $K[G]$ temos $(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0$ , sen que ningún dos factores sexa cero, polo tanto $1-g$ é un divisor de cero distinto de cero en $K[G]$ .

Divisor de cero unilateral

Considere o anel de matrices ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ con $x,z\in \mathbb {Z}$ e $y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ . Entón ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}$ e ${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}$ . Se $x\neq 0\neq z$ , entón ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ é un divisor de cero pola esquerda se e só se $x$ é par, pois ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}$ , e temos que é un divisor de cero pola dereita se e só se $z$ é par por razóns similares. Se calquera dos $x,z$ é $0$ , entón é un divisor de cero bilateral.

Non exemplos

O anel de enteiros módulo un número primo non ten divisores de cero distintos de cero. Dado que cada elemento distinto de cero é unha unidade, este anel é un corpo finito.
De forma máis xeral, un anel de división non ten divisores de cero distintos de cero.
Un anel conmutativo distinto de cero cuxo único divisor de cero é 0 chámase dominio de integridade.

Propiedades

No anel de matrices $n$ × $n$ sobre un corpo, os divisores de cero pola esquerda e pola dereita coinciden; son precisamente as matrices invertíbeis. No anel de matrices $n$ × $n$ sobre un dominio de integridade, os divisores de cero son precisamente as matrices con determinante cero.
Os divisores de cero pola esquerda ou pola dereita nunca poden ser unidades, porque se $a$ é invertíbel e $ax = 0$ para algún $x$ distinto de cero, entón $0 = a -1 0 = a -1 ax = x$ , é unha contradición.
Un elemento é cancelábel no lado no que é regular. É dicir, se $a$ é regular esquerdo, $ax = ay$ implica que $x = y$ , e do mesmo xeito para regular dereito.

Cero como divisor de cero

Non hai necesidade dunha convención separada para o caso $a = 0$ , porque a definición tamén se aplica neste caso:

Se $R$ é un anel distinto do anel cero, entón $0$ é un divisor de cero (bilateral), porque calquera elemento distinto de cero $x$ satisfai $0 x = 0 = x 0$ .
Se $R$ é o anel cero, no que $0 = 1$ , entón $0$ non é un divisor de cero, porque non hai ningún elemento distinto de cero que, multiplicado por $0$ dea $0$ .

Divisor de cero nun módulo

Sexa $R$ un anel conmutativo, sexa $M$ un módulo $R$ e sexa $a$ un elemento de $R$ . Dise que $a$ é $M$ -regular se a "multiplicación por $a$ ", o mapa $M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M$ é inxectivo, e dise que $a$ é un divisor de cero en $M$ en caso contrario. O conxunto de elementos $M$ -regulares é un conxunto multiplicativo en $R$ .^[2] The set of $M$ -regular elements is a multiplicative set in $R$ .^[2]

Especializando as definicións de " $M$ -regular" e "divisor de cero en $M$ " para o caso $M = R$ cobre as definicións de "regular" e "divisor de cero" dadas anteriormente neste artigo.

Notas

↑ Nicolas Bourbaki (1998). Algebra I. Springer Science+Business Media. p. 15.
↑ ^2,0 ^2,1 Hideyuki Matsumura (1980). Commutative algebra, 2nd edition. The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. p. 12.

↑ Posto que o mapa non é inxective, temos $ax = ay$ , no que $x$ difire de $y$ , e daquela $a (x - y) = 0$ .

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Sedenion.
Anel cociente.

Ligazóns externas

Zero Divisor (MathWorld).

[2] Nicolas Bourbaki (1998). Algebra I. Springer Science+Business Media. p. 15.

[Matsumura-p12-3] 2,0 ^2,1 Hideyuki Matsumura (1980). Commutative algebra, 2nd edition. The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. p. 12.

[1] Posto que o mapa non é inxective, temos $ax = ay$ , no que $x$ difire de $y$ , e daquela $a (x - y) = 0$ .

[a]

[1]

[2]