חרוט

חָרוּט (בלועזית קוֹנוּס, מיוונית: κώνος; לעיתים רחוקות גם חַדּוּדִית) הוא גוף גאומטרי תלת-ממדי, המוגדר על ידי עקומה דו-ממדית, סגורה, כלשהי, הקרויה מכוון, ונקודה במרחב, הנמצאת מחוץ למישור בו נמצא המכוון, הקרויה קודקוד. הצורה הגאומטרית התחומה על ידי המכוון קרויה בסיס. החרוט הוא המקום הגאומטרי של כל הקטעים ("הקווים היוצרים") המחברים בין המכוון לקודקוד. משטח הנוצר כאשר הקווים היוצרים הם קרניים, או ישרים נקרא גם הוא חרוט. במקרה זה, החרוט המתקבל הוא משטח אינסופי פתוח. עצם אשר צורתו היא חרוט, מכונה "חרוטי" או "קוני".

גובה החרוט הוא האנך לבסיס העובר דרך הקודקוד. גם אורך האנך נקרא "גובה".

פעמים רבות משתמשים בשם "חרוט" או "חרוט ישר" לציון חרוט שבסיסו עיגול ויש לו ציר סימטריה העובר דרך מרכז העיגול (הקודקוד נמצא בדיוק "מעל" מרכז המעגל). חרוט ישר הוא גם גוף סיבוב של משולש ישר-זווית סביב אחד הניצבים. חרוט עיגולי שצירו אינו מאונך לבסיסו קרוי חרוט משופע.

תכונות גאומטריות

פריסה של חרוט מעגלי ישר בעל רדיוס r וגובה h.

פני החרוט הם משטח ישרים.

הנפח $V$ של חרוט שגובהו $h$ ושטח בסיסו $S$ הוא $V={\tfrac {Sh}{3}}$ (ראו עקרון קאוואליירי: נפח פירמידה). בפרט הנפח של חרוט עיגולי שלבסיסו רדיוס $r$ הוא 1/3 מנפחו של גליל בעל אותם ממדים, כלומר $\ V={\tfrac {\pi }{3}}r^{2}h$. מרכז המסה של חרוט עיגולי (בהנחה שהחרוט מלא בצפיפות אחידה) ממוקם על צירו, ברבע המרחק מן הבסיס לקודקוד.

שטח פניו של חרוט עיגולי הוא $\ A=\pi r(r+s)$, כאשר $s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ הוא המרחק מן הקודקוד אל היקף הבסיס (לפי משפט פיתגורס). השטח כולל שני חלקים: שטח הבסיס שהוא $\pi r^{2}$, ושטח פני הצד שהוא $\pi rs$.

חתך חרוט הוא הצורה החד-ממדית המתקבלת על שפת החרוט ישר כאשר מישור חותך אותו. צורת חתך החרוט תלויה בזווית שבה המישור חותך את החרוט. קיימים שלושה חתכי חרוט: אליפסה (כולל מעגל, ונקודה), פרבולה והיפרבולה (כולל זוג ישרים נחתכים).

פריסה של חרוט בנויה מגזרת מעגל ומעיגול הצמוד אליה. גזרת המעגל היא מעטפת החרוט לאחר ששוטחה, והעיגול הוא בסיס החרוט המשמר את צורתו. רדיוס גזרת המעגל שווה לאורך הקו היוצר של החרוט, ואורך הקשת שלה שווה להיקף עיגול הבסיס. זווית הגזרה, ברדיאנים, שווה ליחס בין היקף מעגל הבסיס, לאורך הקו היוצר.

הכללה טופולוגית

ניתן להכליל את בניית החרוט הגאומטרי כך שהבסיס עליו נבנה החרוט יהיה מרחב טופולוגי כלשהו. בלשון לא פורמלית, בונים גליל שמורכב מעותקים של המרחב "זה על גבי זה" ומכווצים את החלק העליון של הגליל לנקודה אחת. בניסוח פורמלי, בהינתן מרחב טופולוגי X, החרוט על X מסומן $\operatorname {Con} (X)$ ומוגדר בתור מרחב המנה: $\operatorname {Con} (X)=X\times [0,1]/\sim$, כאשר $\sim$ הוא יחס השקילות המזהה את כל הנקודות ב-$X\times \{1\}$ כנקודה אחת.

שימושים של חרוט

רוב הטילים והרקטות מסתיימות בראש קוני, וזאת על מנת לשפר את האווירודינמיות שלהם. טילים אחרים מסתיימים בכיפה.

מטען חלול מבוסס על חרוט נחושת הפוך, שנהפך ל"ליינר" לוהט בעקבות פיצוץ חומר נפץ שנמצא בחודו.

מדורת עצים נבנית לרוב בצורת חרוט, על מנת לאפשר בעירה טובה יותר של העץ.

כובעים טיפוסיים של ליצנים וכובעי גמדי הגינה הם בצורת חרוט.

בשפה העברית

חרוט קטום (חרוט שחתכו את חלקו העליון באמצעות מישור), לרוב בצבעי אדום-כתום, משמש לסימון מסלולים בספורט ובתחבורה ונקרא בשפת היומיום "קונוס" . לעיתים, מודבק הכינוי "קונוסים" לקבוצת כדורגל או כדורסל חלשה במיוחד, כמטפורה על כך שסיפקו התנגדות למשחק היריב כמו קונוסים - עצמים נייחים שלא רצים ולא מהווים אתגר עבור שחקני היריב.

ראו גם

חתכי חרוט

קישורים חיצוניים

• חרוט, באתר MathWorld (באנגלית)