Hiperbolikus függvények

A trigonometrikus és hiperbolikus függvények, illetve ezek inverzei

A hiperbolikus függvények a matematikában a szögfüggvényekhez hasonló függvények.

A két alapvető hiperbolikus függvény a hiperbolikus szinusz (jelölése sh vagy sinh) és a hiperbolikus koszinusz (jelölése ch vagy cosh), melyekből levezethető a hiperbolikus tangens (jelölése th vagy tanh) függvény a szögfüggvényekhez hasonlóan. Ugyanúgy számolható belőlük a hiperbolikus szekáns és a hiperbolikus koszekáns, mint trigonometrikus megfelelőikből a szekáns és a koszekáns. Ezeknek a függvényeknek az inverzei az area hiperbolikus függvények. Ezt az adott függvény neve elé tett area szó jelzi. Mindezek a függvények egyes szerzőknél latin nevükkel szerepelnek, mint sinus hyperbolicus, cosinus hyperbolicus, tangens hyperbolicus, cotangens hyperbolicus, secans hyperbolicus, cosecans hyperbolicus; illetve az area függvények: area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus, area cotangens hyperbolicus, area secans hyperbolicus, area cosecans hyperbolicus.

Ahogy a (cos t, sin t) pontok egy kört határoznak meg, az az $x^{2}+y^{2}=1$ egységkört, úgy a (ch t, sh t) pontok egy hiperbola jobb oldali félgörbéjét írják le, mely az $x^{2}-y^{2}=1$ egységhiperbolához tartozik. A kapcsolat a komplex számsíkon még nyilvánvalóbb, mivel $(iy)^{2}=-y^{2}$. Így például $\cos(ix)=\operatorname {ch} x$. A komplex hiperbolikus szinusz és hiperbolikus koszinusz az egész komplex számsíkon folytonosan definiált, sőt holomorf függvények. A többi hiperbolikus függvénynek pólusai vannak a képzetes tengelyen.

A hiperbolikus függvények azért is fontosak, mert több lineáris differenciálegyenlet megoldását fel lehet írni a használatukkal. Ilyen például derékszögű koordináta-rendszerben a súlya alatt lelógó kábel egyenlete. Alkalmazhatóak ezen kívül a Laplace-egyenlet megoldásánál, amely a fizika több területén – az elektromágnesség elméletében, hőátadásban, folyadékok dinamikájában és a speciális relativitáselméletben – is fontos.

Definíciók

Az origóból kiinduló sugár az $x^{2}-y^{2}=1$ hiperbolát az $(\operatorname {ch} A,\operatorname {sh} A)$ pontban metszi, ahol $A$ a sugár, az $x$-tengelyre vett tükörképe és a hiperbola által közrezárt terület

Az egységhiperbola egyenlete $x^{2}-y^{2}=1$, így a két alapvető hiperbolikus függvény, a hiperbolikus koszinusz és a hiperbolikus szinusz:

$x=\operatorname {ch} (t),y=\operatorname {sh} (t)$

Hasonló kapcsolatban állnak, mint a trigonometrikus függvények az egységkörrel:

$x=\cos(t),y=\sin(t):x^{2}+y^{2}=1$

Itt $\operatorname {sh} (A)$ az egyenes és a hiperbola metszéspontjának $y$ koordinátája, és $\operatorname {ch} (A)$ az egyenes és a hiperbola metszéspontjának $x$ koordinátája. A $\operatorname {th} (A)$ értéke az $y$ koordináta az $x=1$ helyen, azaz az egyenes meredeksége.

Ha a területet integrálással számítjuk ki, akkor az exponenciális ábrázoláshoz jutunk, ami használható ekvivalens definícióként:

$\operatorname {sh} (z):={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}$

$\operatorname {ch} (z):={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}$

Ez alapján a hatványsorok:

${\begin{aligned}\operatorname {sh} (z)&=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{7}}{7!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\operatorname {ch} (z)&=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}\,,\end{aligned}}$

Itt $n!$ az $n$ szám faktoriálisa, vagyis az első $n$ pozitív egész szám szorzata. Szemben a $\cos$ és a $\sin$ hatványsorával, itt nincsenek negatív együtthatók.

Tulajdonságok

sh és ch

• Minden valós számra $\operatorname {sh} x$ és $\operatorname {ch} x$ valós.
• A valós $\operatorname {sh} x$ függvény értékkészlete az összes valós szám; a valós $\operatorname {ch} x$ értékkészletébe az egynél nem kisebb valós számok tartoznak.
• A valós $\operatorname {sh} x$ függvény szigorúan monoton nő, és a nulla helyen inflexiós pontja van, ahol nullhelye is van.
• A valós $\operatorname {ch} x$ szigorúan monoton csökken az $(-\infty ,0]$ intervallumon, és szigorúan monoton nő az $[0,\infty )$ intervallumon. Globális minimumát az $x=0$ helyen éri el.
• A valós $\operatorname {sh} x$ függvény aszimptotikus függvényei $a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{x},\quad x\to \infty$ és $a_{2}(x)=-{\frac {1}{2}}e^{-x},\quad x\to -\infty$. A valós $\operatorname {ch} x$ függvény aszimptotikus függvényei $a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{x},\quad x\to \infty$ és $a_{2}(x)={\frac {1}{2}}e^{-x},\quad x\to -\infty$.
• Mivel $\operatorname {sh} ,\operatorname {ch} \colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$, azért a komplex hiperbolikus függvénytulajdonságok a valós függvényekre is teljesülnek:

• Az $\operatorname {sh} x$ függvény páratlan, az $\operatorname {ch} x$ függvény páros.
• A függvények periodikusak, periódusuk $2\pi i$. Ez a valós függvényeken nem látszik, mivel a periódus tisztán képzetes; tehát a valós függvények nem periodikusak.
• A következő szakaszok további összefüggéseket mutatnak be.

th és cth

• Minden valós számra $\operatorname {th} x$ és minden nullától különböző valós számra $\operatorname {cth} x$ valós. A $\operatorname {cth} x$ függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van.
• A valós $\operatorname {th} x$ értékkészlete $-1<f\left(x\right)<1$, a valós $\operatorname {cth} x$ függvényé $\{-\infty <f\left(x\right)<-1\}\cup \{1<f\left(x\right)<+\infty \}$.
• A valós $\operatorname {th} x$ függvénynek az $x=0$ helyen nullhelye van, ami inflexiós pont is.
• A valós $\operatorname {th} x$ függvény szigorúan monoton nő; $\operatorname {cth} x$ szigorúan monoton csökken, ha $x<0$, és szigorúan monoton csökken, ha $x>0$
• Nem periodikus, páratlan függvények.
• A valós $\operatorname {th} x$ aszimptotikus függvényei $x\to +\infty \colon f\left(x\right)\to +1$ és $x\to -\infty \colon f\left(x\right)\to -1$. A valós $\operatorname {cth} x$ függvény aszimptotikus függvényei $x\to +\infty \colon f\left(x\right)\to +1$ és $x\to -\infty \colon f\left(x\right)\to -1$

sech és csch

• Minden valós számra $\operatorname {sech} x$ és minden nullától különböző valós számra $\operatorname {csch} x$ valós. A $\operatorname {csch} x$ függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van.
• A valós $\operatorname {sech} x$ függvény értékkészlete $0<f(x)\leq 1$; a valós $\operatorname {csch} x$ függvényé $-\infty <f(x)<+\infty \,;\,f(x)\neq 0$.
• A valós $\operatorname {sech} x$ függvény szigorúan monoton nő, ha $x<0$, és szigorúan monoton csökken, ha $x>0$. A valós $\operatorname {csch} x$ függvény szigorúan monoton csökken, ha $x<0$, és szigorúan monoton csökken, ha $x>0$.
• Nem periodikusak. $\operatorname {sech} x$ páros, $\operatorname {csch} x$ páratlan.
• Mindkét függvénynek aszimptotája $f(x)\to 0$, ha $x\to \pm \infty$.
• A valós $\operatorname {sech} x$ függvény maximumát az $x=0$ pontban éri el. a valós $\operatorname {csch} x$ függvénynek nincsenek szélsőértékei.
• A valós $\operatorname {sech} x$ függvény inflexiós pontja az $x=\pm \ln {(1+{\sqrt {2}})}$ helyen vannak. A valós $\operatorname {csch} x$ függvénynek nincsenek inflexiós pontjai.

Algebrai összefüggések

sh, ch és th

csch, sch és cth

A hiperbolikus függvények:

• Hiperbolikus szinusz:

$\operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!$

• Hiperbolikus koszinusz:

$\operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!$

• Hiperbolikus tangens:

$\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=1-{\frac {2}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}=-i\operatorname {tg} ix\!$

• Hiperbolikus kotangens:

$\operatorname {cth} x={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=1+{\frac {2}{\mathrm {e} ^{2x}-1}}=i\operatorname {ctg} ix\!$

• Hiperbolikus szekáns:

$\operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec ix\!$

• Hiperbolikus koszekáns:

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!$

ahol $i$ az imaginárius egység.

A fenti definíciókban a komplex alakok az Euler-formulából adódnak.

$\operatorname {ch} ^{2}x\!\;-\operatorname {sh} ^{2}x=1$

$\operatorname {ch} x\,\;+\operatorname {sh} x\,\,=e^{x}$ (Euler-azonosság)

$\operatorname {ch} x\,\;-\operatorname {sh} x\,\,=e^{-x}$

$\operatorname {ch} ({\operatorname {arsh} }(x))={\sqrt {x^{2}+1}}$

$\operatorname {sh} ({\operatorname {arch} }(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$ (hiperbolikus egyenlet, a gemotriai definícióból közvetlenül adódik)

Szimmetria összefüggések

$\operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x\,\!$

$\operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x\,\!$

Innen:

$\operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} (x)\,\!$

$\operatorname {cth} (-x)=\operatorname {cth} (x)\,\!$

$\operatorname {sch} (-x)=\operatorname {sch} \,x\,\!$

$\operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!$

Látható, hogy a ch x és sch x páros, a többi páratlan függvény.

$\operatorname {sh} (z)=\operatorname {sh} (z+2\pi i)\quad {\text{ és }}\quad \operatorname {ch} (z)=\operatorname {ch} (z+2\pi i)$,

így a többi hiperbolikus függvény is periodikus $2\pi i$ szerint.

Addíciós tételek

• $\operatorname {sh} (z_{1}\pm z_{2})=\operatorname {sh} (z_{1})\cdot \operatorname {ch} (z_{2})\pm \operatorname {sh} (z_{2})\cdot \operatorname {ch} (z_{1})$
• $\operatorname {ch} (z_{1}\pm z_{2})=\operatorname {ch} (z_{1})\cdot \operatorname {ch} (z_{2})\pm \operatorname {sh} (z_{1})\cdot \operatorname {sh} (z_{2})$
• $\operatorname {th} (z_{1}\pm z_{2})={\frac {\operatorname {th} (z_{1})\pm \operatorname {th} (z_{2})}{1\pm \operatorname {th} (z_{1})\operatorname {th} (z_{2})}}$
• $\operatorname {th} (\alpha +\beta )={\frac {\operatorname {th} \alpha +\operatorname {th} \beta }{1+\operatorname {th} \alpha \,\operatorname {th} \beta }}$
• $\operatorname {cth} (\alpha +\beta )={\frac {1+\operatorname {cth} \alpha \,\operatorname {cth} \beta }{\operatorname {cth} \alpha +\operatorname {cth} \beta }}$

Speciálisan, ha $y:=x$:

${\begin{aligned}\operatorname {sh} 2x&=2\cdot \operatorname {sh} x\operatorname {ch} x\ \\\operatorname {ch} 2x&=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\cdot \operatorname {ch} ^{2}x-1=2\cdot \operatorname {sh} ^{2}x+1\end{aligned}}$

illetve, ha $y:=2x$:

${\begin{aligned}\operatorname {sh} 3x&=4\cdot \operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x\ \\\operatorname {ch} 3x&=4\cdot \operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x\end{aligned}}$

Összegzés:

${\begin{aligned}\operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y&=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}\\\operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y&=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}\\\operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y&=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}\end{aligned}}$

Hatványok

${\begin{aligned}\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\operatorname {ch} (2x)-1{\Big )}\\\operatorname {ch} ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\operatorname {ch} (2x)+1{\Big )}\end{aligned}}$

További összefüggések

${\operatorname {ch} }^{2}(z)-{\operatorname {sh} }^{2}(z)=1$

$\operatorname {ch} z+\operatorname {sh} z\ =e^{z}$

$\operatorname {ch} z-\operatorname {sh} z\ =e^{-z}$

$\operatorname {sh} (\ln \varphi )={\tfrac {1}{2}}$, ahol $\varphi$ az aranymetszés.

A hiperbolikus kotangensnek két fixpontja van, azaz két hely, ami megegyezik az ott felvett értékkel:

$\operatorname {cth} \,u=u$, ahol $u_{\pm }=\pm 1{,}19967864\dots$ ((A085984 sorozat az OEIS-ben))

Komplex argumentumok

Ha $x,y\in \mathbb {R}$ valós és képzetes rész, akkor teljesül, hogy:

${\begin{aligned}\operatorname {sh} (x+i\,y)&=\cos y\,\operatorname {sh} x+i\sin y\,\operatorname {ch} x\\\operatorname {ch} (x+i\,y)&=\cos y\,\operatorname {ch} x+i\sin y\,\operatorname {sh} x\\\sin(x+i\,y)&=\sin x\,\operatorname {ch} y+i\cos x\,\operatorname {sh} y\\\cos(x+i\,y)&=\cos x\,\operatorname {ch} y-i\sin x\,\operatorname {sh} y\\\end{aligned}}$

Például a harmadik és a negyedik egyenlőség levezethető a következőképpen:

Ha $z=x+i\,y$, akkor:

${\begin{aligned}\exp(iz)&=\cos(x+i\,y)+i\sin(x+i\,y)\\&=\exp(i\,(x+i\,y))\\&=\exp(i\,x)\,\exp(i\,(i\,y))\\&=(\cos x\,\cos(i\,y)-\sin x\,\sin(i\,y))+i\,(\cos x\,\sin(i\,y)+\sin x\,\cos(i\,y))\\&=(\cos x\,\operatorname {ch} y-i\sin x\,\operatorname {sh} y)+i\,(\sin x\,\operatorname {ch} y+i\cos x\,\operatorname {sh} y)\\\end{aligned}}$

Az együtthatók összehasonlításával:

${\begin{aligned}\cos(x+i\,y)&=\cos x\,\operatorname {ch} y-i\sin x\,\operatorname {sh} y\\\sin(x+i\,y)&=\sin x\,\operatorname {ch} y+i\cos x\,\operatorname {sh} y\\\end{aligned}}$

$\operatorname {th} (x+i\,y)={\frac {\operatorname {sh} (2x)}{\operatorname {ch} (2x)+\cos(2y)}}+i\,{\frac {\sin(2y)}{\operatorname {ch} (2x)+\cos(2y)}}$

$\operatorname {th} (i\,y)=i\,\operatorname {th} y$

$\operatorname {cth} (x+i\,y)={\frac {\operatorname {sh} (2x)}{\operatorname {ch} (2x)-\cos(2y)}}+i\,{\frac {-\sin(2y)}{\operatorname {ch} (2x)-\cos(2y)}}$

$\operatorname {cth} (i\,y)=-i\,\operatorname {ctg} y$

${\begin{aligned}&\operatorname {sech} (x+\mathrm {i} y)={\frac {2\cosh(x)\cos(y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}+\mathrm {i} {\frac {-2\sinh(x)\sin(y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}\\&\operatorname {sech} (\mathrm {i} y)=\sec(y)\\&\operatorname {csch} (x+\mathrm {i} y)={\frac {2\sinh(x)\cos(y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {-2\cosh(x)\sin(y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}\\&\operatorname {csch} (\mathrm {i} y)=-\mathrm {i} \csc(y)\end{aligned}}$

Kapcsolat a trigonometrikus függvényekkel

A szögfüggvények és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolat:

${\begin{aligned}\operatorname {sh} (x)&=\operatorname {tg} (\operatorname {gd} \,x)&=&\operatorname {tg} (\varphi )&\quad &{\text{(3)}}\\\operatorname {ch} (x)&=\sec(\operatorname {gd} \,x)&=&\sec(\varphi )\\\operatorname {th} (x)&=\sin(\operatorname {gd} \,x)&=&\sin(\varphi )&\quad &{\text{(4)}}\\\operatorname {sech} (x)&=\cos(\operatorname {gd} \,x)&=&\cos(\varphi )\\\operatorname {csch} (x)&=\operatorname {ctg} (\operatorname {gd} \,x)&=&\operatorname {ctg} (\varphi )\\\operatorname {cth} (x)&=\csc(\operatorname {gd} \,x)&=&\csc(\varphi )\\\end{aligned}}$

ahol $\operatorname {gd}$ a Gudermann-függvény.

Átszámítási táblázat

Függvény	$\operatorname {sh}$	$\operatorname {ch}$	$\operatorname {th}$	$\operatorname {cth}$	$\operatorname {sech}$	$\operatorname {csch}$
$\operatorname {sh} (x)=$	$\operatorname {sh} (x)\,$	$\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}(x)-1}}$	${\frac {\operatorname {th} (x)}{\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}(x)}}}$	${\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\operatorname {cth} ^{2}(x)-1}}}$	$\operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}{\operatorname {sech} (x)}}$	${\frac {1}{\operatorname {csch} (x)}}$
$\operatorname {ch} (x)=$	$\,{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}(x)}}$	$\,\operatorname {ch} (x)$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {\left|\operatorname {cth} \right|}{\sqrt {\operatorname {cth} ^{2}(x)-1}}}$	$\,{\frac {1}{\operatorname {sech} (x)}}$	$\,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}{\left|\operatorname {csch} (x)\right|}}$
$\operatorname {th} (x)=$	$\,{\frac {\operatorname {sh} (x)}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}(x)}}}$	$\,\operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}(x)-1}}{\operatorname {ch} (x)}}$	$\,\operatorname {th} (x)$	$\,{\frac {1}{\operatorname {cth} (x)}}$	$\,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}$	$\,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}$
$\operatorname {cth} (x)=$	$\,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}(x)}}{\operatorname {sh} (x)}}$	$\,\operatorname {sgn}(x){\frac {\operatorname {ch} (x)}{\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}(x)-1}}}$	$\,{\frac {1}{\operatorname {th} (x)}}$	$\,\operatorname {cth} (x)$	$\,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}$	$\,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}$
$\operatorname {sech} (x)=$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {1}{\operatorname {ch} (x)}}$	$\,{\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}(x)}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {cth} ^{2}(x)-1}}{\left|\operatorname {cth} (x)\right|}}$	$\,\operatorname {sech} (x)$	$\,{\frac {\left|\operatorname {csch} (x)\right|}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}$
$\operatorname {csch} (x)=$	$\,{\frac {1}{\operatorname {sh} (x)}}$	$\,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}(x)-1}}}$	$\,{\frac {\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}(x)}}{\operatorname {th} (x)}}$	$\,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\operatorname {cth} ^{2}(x)-1}}$	$\,\operatorname {sgn}(x){\frac {\operatorname {sech} (x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}$	$\,\operatorname {csch} (x)$

Deriváltak

${\frac {d}{dx}}\operatorname {sh} x=\operatorname {ch} x\,$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {ch} x=\operatorname {sh} x\,$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {th} x=1-\operatorname {th} ^{2}x={\hbox{sch}}^{2}x=1/\operatorname {ch} ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {cth} x=1-\operatorname {cth} ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\operatorname {sh} ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}x=-{\hbox{csch}}\ x\operatorname {cth} x\,$

${\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}x=-{\hbox{sech}}\ x\operatorname {th} x\,$

A tangens hiperbolicus $n$-edik deriváltja

${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\operatorname {th} z={\frac {2^{n+1}\mathrm {e} ^{2z}}{(1+\mathrm {e} ^{2z})^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}A_{n,k}\,\mathrm {e} ^{2kz}$

ahol A_n,k Euler-számok.

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} \ x&=-\operatorname {sech} \ x\cdot \operatorname {th} \ x=-{\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} \ x&=-\operatorname {csch} \ x\cdot \operatorname {cth} \ x=-{\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} ^{2}x}}=-\operatorname {csch} \ x\cdot {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}x}}\\\end{aligned}}$

Integrálok

$\int \operatorname {sh} cx\,dx={\frac {1}{c}}\operatorname {ch} cx+C$

$\int \operatorname {ch} cx\,dx={\frac {1}{c}}\operatorname {sh} cx+C$

$\int \operatorname {th} cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\operatorname {ch} cx|+C$

$\int \operatorname {cth} cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\operatorname {sh} cx|+C$

${\begin{aligned}\int \operatorname {sech} x\ \mathrm {d} x&=\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} x\right)+C\\\int \operatorname {csch} x\ \mathrm {d} x&=\ln \left|\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right|+C\end{aligned}}$

A fenti kifejezésekben C az integrálás állandója.

Improprius integrál:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\operatorname {ch} x}}=\pi .$

Differenciálegyenletek

A $\operatorname {sh}$ és $\operatorname {ch}$ függvények az

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}f(z)=f(z)$

lineáris differenciálegyenlet alaprendszerét, más néven megoldásbázisát alkotják, ugyanúgy mint az $e^{z}$ és $e^{-z}$ függvények. Ha a két $f_{i}(z)$ függvény számára kezdeti feltételként előírjuk, hogy $f_{1}(0)=0$,$f_{1}'(0)=1$ és $f_{2}(0)=1$,$f_{2}'(0)=0$ legyen, akkor ezzel a $\operatorname {sh}$ és $\operatorname {ch}$ függvényeket választottuk. Ezeket a tulajdonságokat a definícióból is bizonyítani lehet.

A $\operatorname {th}$ függvény megoldja a következő differenciálegyenleteket

$f^{\prime }=1-f^{2}$ vagy

${\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }=f^{3}-f=f(f^{2}-1)$

az $f(0)=0$ és $f^{\prime }(\infty )=0$ kezdeti feltételekkel.

Taylor-sorba fejtés

A hiperbolikus függvények Taylor-sorai:

$\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

$\operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {cth} x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (Laurent-sor)

$\operatorname {sch} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (Laurent-sor)

ahol

$B_{n}\,$ az n-ik Bernoulli-szám

$E_{n}\,$ az n-ik Euler-szám

$\operatorname {th} x=\operatorname {sgn} x\left[1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,2\,\mathrm {e} ^{-2k|x|}\right]$

$\operatorname {cth} x={\frac {1}{x}}+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {2x}{k^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}$

A tangens hyperbolicus Taylor-sora így kezdődik:

$\operatorname {th} x=\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\cdot {\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}\cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+\cdots$

ahol

$B_{n}\,$ az n-ik Bernoulli-szám. A konvergenciasugár $\pi /2$.

Végtelen szorzatként

Legyen $n\in \mathbb {N}$. Ekkor minden komplex $z$-re:

${\begin{aligned}&\operatorname {sh} z={\left({\frac {2}{i}}\right)}^{\!\!n-1}\,\prod \limits _{k=0}^{n-1}\operatorname {sh} {\frac {z+k\,\pi \,i}{n}}\\&\operatorname {ch} z=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\operatorname {ch} {\frac {z+\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)\,\pi \,i}{n}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\operatorname {sh} x=x\cdot \prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(k\pi )^{2}}}\right)\\&\operatorname {ch} x=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Lánctörtként

Johann Heinrich Lambert képlete:

$\operatorname {th} x={\frac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{3+{\cfrac {x^{2}}{5+\ldots }}}}}}$

Bijektivitás

sh

Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:

$A:=\{z\in \mathbb {C} \mid -\pi /2<\operatorname {Im} \,z<\pi /2\}$

$B:=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} \,z\neq 0\vee |\operatorname {Im} \,z|<1\}$

Ekkor az $\operatorname {sh} x$ függvény bijektíven leképezi az $A$ sávokat a $B$ halmazokra.

ch

Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:

$A:=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<\operatorname {Im} \,z<\pi \}$

$B:=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} \,z\neq 0\vee |\operatorname {Re} \,z|<1\}$

Ekkor az $\operatorname {ch} x$ függvény bijektíven leképezi az $A$ sávokat a $B$ halmazokra.

Inverz függvények

A hiperbolikus függvények inverz függvényeit áreafüggvényeknek vagy inverz hiperbolikus függvényeknek nevezzük:

• áreaszinusz hiperbolikus és áreakoszinusz hiperbolikus
• áreatangens hiperbolikus és áreakotangens hiperbolikus
• áreaszekáns hiperbolikus és áreakoszekáns hiperbolikus

Az inverz függvényeket csak olyan leszűkítéseken lehet definiálni, ahol az adott függvény egyértelmű. Így a szinusz hiperbolikust nem kell leszűkíteni, de például a koszinusz hiperbolikust igen: a koszinusz hipőerbolikust az $[0,+\infty [$ korlátozva definiálják az área koszinusz hiperbolikust. Elemi módszerekkel kiszámolható, hogy:

$\operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\$.

$\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\$.

A tangens hiperbolicus bijektív $\operatorname {th} \colon \mathbb {R} \rightarrow (-1,1)$ függvény. Inverz függvénye az area tangens hiperbolicus, ami az $(-1,1)$ intervallumon értelmezett:

$\operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}.$

Az area cotangens hiperbolicus:

$\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}$

a $(-1,1)$ intervallumon kívül értelmezve.

• Az áreafüggvények grafikonja
• 
  áreaszinusz hiperbolikus
• 
  áreakoszinusz hiperbolikus
• 
  áreatangens hiperbolikus
• 
  áreakotangens hiperbolikus
• 
  áreaszekáns hiperbolikus
• 
  áreakoszekáns hiperbolikus

Hasonlóságok a szögfüggvényekkel

Kör és hiperbola kapcsolata

Az x y = 1 hiperbola x > 1 tartományban lévő tetszőleges pontja hiperbolikus háromszöget határoz meg, amelyben a hiperbolikus szög melletti oldal a ch értékkel egyenlő, míg a szöggel szemben fekvő oldal az sh-val. Azonban mivel a hiperbola (1,1) pontja az origótól √2 távolságra van, ezért az oldalak hosszát 1/√2 tényezővel kell szoroznunk, hogy a helyes eredményt kapjuk.

Mint ahogy a (cos x, sin x) pontok egy kört ( x² + y² = 1) határoznak meg, a (ch x, sh x) pontok az x² - y² = 1 egyenlő szárú hiperbola jobb oldali görbéjét írják le. Ez ezen a könnyen ellenőrizhető azonosságon:

$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1\,$

és azon alapul, hogy ch x > 0 minden x-re.

A hiperbolikus függvények periodikusak $2\pi i$ komplex periódus szerint.

A x paraméter nem a kör középponti szöge, mint a szögfüggvényeknél, hanem a hiperbolikus „szög”, amelynek értéke a kétszerese annak a területnek, melyet az x tengely, a hiperbola és egy, a hiperbola (ch x, sh x) pontjából az origóba húzott egyenes határol.

A hiperbolikus függvényekre igen sok olyan azonosság érvényes, melyek hasonlóak a szögfüggvények azonosságaihoz. Az Osborne-szabály kimondja, hogy minden trigonometrikus azonosságot egy analóg hiperbolikus azonossággá lehet alakítani a következőképpen:

• lecseréljük a szögfüggvényt a hiperbolikus megfelelőjével és
• az sh * sh kifejezés előjelét megváltoztatjuk.

Néhány példa:

$\operatorname {sh} (x+y)=\operatorname {sh} x\operatorname {ch} y+\operatorname {ch} x\operatorname {sh} y\,$

$\operatorname {ch} (x+y)=\operatorname {ch} x\operatorname {ch} y+\operatorname {sh} x\operatorname {sh} y\,$

$\operatorname {th} (x+y)={\frac {\operatorname {th} x+\operatorname {th} y}{1+\operatorname {th} x\operatorname {th} y}}\,$

A „kétszeres szög” képletek:

$\operatorname {sh} 2x\ =2\operatorname {sh} x\operatorname {ch} x\,$

$\operatorname {ch} 2x\ =\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=2\operatorname {sh} ^{2}x+1\,$

és a „fél-szög” képletek:

$\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}$ Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párjának.

$\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}$ Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párja szorozva (-1)-gyel.

Az $\operatorname {sh} x$ deriváltja $\operatorname {ch} x$, a $\operatorname {ch} x$ deriváltja pedig $\operatorname {sh} x$.

Numerikus számítások

A tangens hyperbolicus számítható a $\operatorname {th} x={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}$ képlettel. Ez azonban nagy, illetve kis abszolútértékű helyeken gondot okoz:

• Nagy értékeknél túlcsordulás jön létre, habár az eredmény nagysága ezt nem indokolja
• Kis értékek esetén vészes kiegyszerűsödés adódik, így az eredmény pontatlan lesz.

Ekkor a következő közelítések alkalmazhatók:

• $x$ akkora pozitív szám, hogy ${x}>k\cdot {\frac {\ln 10}{2}}$. Ekkor

$\operatorname {th} x=+1$, ahol $k$ a szignifikáns számjegyek száma az adott számtípusnál, például double esetén 16.

• $x$ nagy abszolútértékű negatív szám úgy, hogy ${x}<-k\cdot {\frac {\ln 10}{2}}$, ahol $k$ szerepe a nagy pozitív számnál szereplő $k$-hoz hasonló. Ekkor az előző esethez hasonlóan $\operatorname {th} x=-1$.
• $x$ abszolútértékben kicsi. Például, ha $-0{,}1<x<+0{,}1$, akkor $\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\mathrm {e} ^{x}-\operatorname {sh} x}}$,

ahol $\operatorname {sh} x$ jól közelíthető Taylor-sorának első néhány tagjával:

$\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots$

• A többi hely esetén marad az eredeti képlet:

$\operatorname {th} x={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}$

Alkalmazások

Az $f''(x)-f(x)=0\$ differenciálegyenlet megoldásai az

$f(x)=a\cdot \operatorname {sh} x+b\cdot \operatorname {ch} x$, ahol $a,b\in \mathbb {R}$

alakú függvények.

Egy csak saját súlya által terhelt homogén lánc alakját hiperbolikus koszinusz függvénnyel lehet leírni. Ezt az alakot láncgörbének vagy katenoidnak hívják.

Egy x irányú Lorentz-transzformáció $\lambda$ rapiditása segítségével a transzformáció mátrixa így írható le:

$L={\begin{pmatrix}\operatorname {ch} \lambda &-\operatorname {sh} \lambda &0&0\\-\operatorname {sh} \lambda &\operatorname {ch} \lambda &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Látható a hasonlóság a forgatómátrixszal, amivel a négydimenziós Lorentz-transzformációk és a forgatások közötti hasonlóság is felismerhető.

A hiperbolikus szinusz és koszinusz a kozmológiában is előfordul. Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a skálafaktorok növekedését leíró összefüggés:

$a(t)=\left({\sqrt {\frac {1-\Omega _{\Lambda ,0}}{\Omega _{\Lambda ,0}}}}\sinh \left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)\right)^{2/3}$,

ahol $t_{\mathrm {ch} }={\frac {2}{3{\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}}}$karakterisztikus időskála; $H_{0}$ aktuális Hubble-paraméter és $\Omega _{\Lambda ,0}$ a sötét energia sűrűségparamétere. Az anyag sűrűségparaméterének időbeli függőségénél a koszinusz hiperbolikusz bukkan fel:

$\Omega _{M}(t)=\cosh ^{-2}\left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)$.

A tangens és a cotangens hyperbolicus használható arra, hogy az eltelt idő függvényében kiszámítsuk a légellenállásos esés sebességét, illetve turbulens áramlásban esik a tárgy (Newton-súrlódás). A koordináta-rendszert úgy rögzítjük, hogy a helytengely felfelé mutasson, tehát a térbeli mozgás tükörképeként. A sebesség az ${\dot {v}}=-g+kv^{2}$ differenciálegyenletből számítható, ahol $g$ nehézségi gyorsulás, $k$ pozitív konstans, melynek mértékegysége $1/m$. A végsebesség $v_{\mathrm {g} }=-{\sqrt {\frac {g}{k}}}<0$, ami a sebesség $t\to \infty$ határértéke. Teljesül továbbá, hogy:

• az esés vagy hajítás kezdeti sebessége kisebb, mint a végsebesség: $v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \operatorname {th} \left({\sqrt {gk}}t+c\right)$, ahol $c=\operatorname {artanh} {\frac {v(0)}{v_{\mathrm {g} }}}\geq 0$
• hajítás esetén a kezdősebesség nagyobb, mint a végsebesség: $v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \operatorname {cth} \left({\sqrt {gk}}t+c\right)$, ahol $c=\operatorname {arcoth} {\frac {v(0)}{v_{\mathrm {g} }}}>0$

A speciális relativitáselméletben a $v$ sebesség és a $\theta$ rapiditás összefüggése $v=c\cdot \operatorname {th} \theta$, ahol $c$ a fénysebesség.

A kvantummechanikában egy kétállapotú rendszert ért termikus hatást írja le: Legyen $n$ az állapotokat ért összhatás, és $E$ az állapotok közötti energiakülönbség. Így a hatásszámok különbsége $\delta n=n\cdot \operatorname {th} {\frac {E}{2k_{\mathrm {B} }T}}$, ahol $k_{\mathrm {B} }$ Boltzmann-állandó, és $T$ abszolút hőmérséklet.

Paramágnes mágnesesezésének leírásához fontos a Brillouin-függvény:

$B_{J}(x)={\frac {1}{J}}\left[\left(J+{\frac {1}{2}}\right)\operatorname {cth} \left(J\,x+{\frac {x}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {cth} {\frac {x}{2}}\right]$

A kozmológiában Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a Hubble-paraméter időbeli változását leíró összefüggés: $H(t)=H_{g}\operatorname {cth} {\frac {t}{t_{ch}}}$, ahol $t_{ch}={\frac {2}{3H_{g}}}$ karakterisztikus időskála, és $H_{g}={\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}$ a Hubble-paraméter határértéke $t\to \infty$ esetén; $H_{0}$ a Hubble-paraméter kiinduláskori értéke, és $\Omega _{\Lambda ,0}$ a sötét energia sűrűségparamétere. A sötét energia sűrűségparaméterét pedig az $\Omega _{\Lambda }(t)=\operatorname {th} ^{2}(t/t_{ch})$. összefüggés írja le.

Kapcsolódó szócikkek

• Inverz hiperbolikus függvények
• Hiperbolikus függvények integráljainak listája
• Láncgörbe
• Euler-féle szám
• Gudermann-függvény

További információk

• Hyperbolic functions MathWorld megfelelő oldala
• GonioLab: Egységsugarú kör, szögfüggvények és hiperbolikus függvények szemléltetése.

Források

• Ilja N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch (Harri).
• Yu. V. Sudorov. Inverse hyperbolic functions 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Hyperbelfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben az Areafunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.