Spektrum (funktionalanalys)

Inom funktionalanalysen är spektrumet för en operator en generalisering av egenvärdesbegreppet, som är mycket mer användbar i fallet med oändligt-dimensionella rum. Till exempel saknar heltalsskiftoperatorn på Hilbertrummet $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ egenvärden, men det gäller allmänt att en begränsad linjär operator på ett komplext Banachrum har icke-tomt spektrum.

Definition

Låt $X$ vara ett komplext Banachrum. Då är spektrumet för en begränsad linjär operator $T:X\rightarrow X$en delmängd av de komplexa talen betecknad $\sigma (T)$. Per definition gäller att $\lambda \not \in \sigma (T)$ om och endast om $\lambda I-T$ är inverterbar samt $(\lambda I-T)^{-1}$ är en begränad operator på $X$.

Här betecknar $I$ identitetsoperatorn på $X$.