Hình học hữu hạn

Mặt phẳng giả hữu hạn bậc 2, chứa 4 "điểm" và 6 "đường". Các đường có cùng màu là "song song". Tâm của hình không phải là "điểm" của mặt phẳng affin này, vì thế hai đường "xanh" không "cắt nhau".

Hình học hữu hạn là bất kỳ hệ thống hình học nào chỉ có một số hữu hạn các điểm. Hình học Euclid quen thuộc là không hữu hạn, bởi vì một đường thẳng của hình học Euclid có vô số điểm. Hình học dựa trên đồ hoạ được hiển thị trên màn hình máy tính, nơi các điểm ảnh được coi là các điểm, sẽ là một hình học hữu hạn. Mặc dù có nhiều hệ thống có thể được gọi là hình học hữu hạn, nghiên cứu chủ yếu tập trung vào hình chiếu hữu hạn và các không gian afin vì tính chính xác và đơn giản của chúng. Các loại quan trọng khác của hình học hữu hạn là mặt phẳng Möbius hữu hạn hoặc các mặt phẳng nghịch đảo và các mặt phẳng Laguerre, vốn là những ví dụ của một loại mặt phẳng thường gọi là mặt phẳng Benz và những mặt phẳng tương tự có số chiều cao hơn của chúng như hình học nghịch đảo hữu hạn.

Các hình học hữu hạn có thể xây dựng thông qua đại số tuyến tính, bắt đầu từ các không gian vectơ trên một trường hữu hạn; Các mặt phẳng afin và mặt phẳng hình chiếu được xây dựng như vậy được gọi là các hình học Galois. Hình học hữu hạn cũng có thể được định nghĩa thuần túy theo trục. Hình học hữu hạn phổ biến nhất là hình học Galois, vì bất kỳ không gian hình chiếu hữu hạn nào có kích thước là ba hoặc lớn hơn đều đẳng cấu với một không gian hình chiếu trên một trường hữu hạn (tức là, hình chiếu hóa của một không gian véctơ trên một trường hữu hạn). Tuy nhiên, kích thước 2 có mặt phẳng afin và mặt phẳng hình chiếu không đồng dạng với hình học Galois, cụ thể là các mặt phẳng không Desargues. Kết quả tương tự áp dụng cho các dạng hình học hữu hạn khác.

Tham khảo

• Batten, Lynn Margaret (1997), Combinatorics of Finite Geometries, Cambridge University Press, ISBN 0521590140
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective geometry: from foundations to applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3, MR 1629468
• Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). "On the life and scientific work of Gino Fano". arΧiv:1311.7177. 
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry: Volume One, Boston: Allyn and Bacon Inc.
• Hall, Marshall (1943), “Projective planes”, Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 54 (2): 229–277, doi:10.2307/1990331, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990331, MR 0008892
• Lam, C. W. H. (1991), “The Search for a Finite Projective Plane of Order 10”, American Mathematical Monthly, 98 (4): 305–318, doi:10.2307/2323798

• Malkevitch, Joe. “Finite Geometries?”. Truy cập ngày 2 tháng 12 năm 2013.
• Meserve, Bruce E. (1983), Fundamental Concepts of Geometry, New York: Dover Publications
• Polster, Burkard (1999). “Yea why try her raw wet hat: A tour of the smallest projective space”. The Mathematical Intelligencer. 21 (2): 38–43. doi:10.1007/BF03024845.
• Segre, Beniamino (1960), On Galois Geometries (PDF), New York: Cambridge university Press, tr. 488–499, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 30 tháng 3 năm 2015, truy cập ngày 20 tháng 9 năm 2017

• Shult, Ernest E. (2011), Points and Lines, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7

• Ball, Simeon (2015), Finite Geometry and Combinatorial Applications, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "finite geometry" từ MathWorld.
• Incidence Geometry by Eric Moorhouse Lưu trữ 2013-10-29 tại Wayback Machine
• Algebraic Combinatorial Geometry by Terence Tao
• Essay on Finite Geometry by Michael Greenberg
• Finite geometry (Script)
• Finite Geometry Resources Lưu trữ 2011-09-27 tại Wayback Machine
• J. W. P. Hirschfeld, researcher on finite geometries
  • Books by Hirschfeld on finite geometry
• AMS Column: Finite Geometries?
• Galois Geometry and Generalized Polygons, intensive course in 1998
• Carnahan, Scott (ngày 27 tháng 10 năm 2007), “Small finite sets”, Secret Blogging Seminar, notes on a talk by Jean-Pierre Serre on canonical geometric properties of small finite sets. Quản lý CS1: postscript (liên kết)
• "Problem 31: Kirkman's schoolgirl problem" tại Wayback Machine (lưu trữ 2010-08-17)
• Projective Plane of Order 12 on MathOverflow.