Abel satte dype spor etter seg p� flere omr�der � omr�der som vanligvis blir omtalt som ligningsteori, integralregning, rekketeori, elliptiske funksjoner og integraler, og Parisavhandlingen med det Abelske addisjonsteorem som et h�ydepunkt.
Allerede f�r Abel ble student i 1821 var han begynt p� det som skulle regnes som hans f�rste matematiske bragd, nemlig arbeidet med den generelle femtegradsligningen:
x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
� l�se en slik ligning var en oppgave europeiske matematikere hadde strevd med i over 250 �r. Abel viste at ligningen rett og slett ikke lar seg l�se ved hjelp av de klassiske regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og rotutdragning.
Gjennombrudd
Gjennom en rekke skarpsindige slutninger viste Abel at en eventuell l�sning uttrykt med disse fem regningsartene, ville inneholde egenskaper som var uforenlige med de egenskaper l�sningen av en generell femtegradsligning n�dvendigvis m� ha.
Abels fremgangsm�te og bevis var et gjennombrudd i ligningsteorien � han forstod hva som gjorde at noen algebraiske ligninger kunne l�ses og andre ikke, en kime til klassekroppteori og et grunnlag for den generelle gruppeteorien som kort tid senere ble funnet av en annen ung matematiker, Galois.
Abel bekostet selv trykkingen av sitt arbeid om femtegradsligningen i 1824. �ret f�r hadde han debutert som matematisk forfatter med noen avhandlinger i landets f�rste naturvitenskapelige tidsskrift, Magazin for Naturvidenskaberne.
Integralligning
Disse arbeidene inneholder blant annet l�sninger p� et mekanisk problem ved hjelp av en s�kalt integralligning. Etter alt � d�mme var dette f�rste gang i matematikkhistorien at en integralligning ble l�st, og det skulle senere vise seg at den samme ligningen Abel studerte, ble det matematiske fundamentet moderne r�ntgentomografi baserer seg p�.
Begrepet Abelske integralligninger er i dag et av sporene etter ham. Ogs� brudden derivasjon er noe Abel her for f�rste gang introduserte.
I teorien for uendelige rekker var Abel opptatt av � legge et stringent grunnlag. Han utviklet fullstendige konvergenskriterier for mange kompliserte rekker, og pr�vde � finne generelle kriterier for � skille konvergente og divergente rekker � Abelsk partiell summasjon er et begrep utledet fra hans arbeider.
�tte avhandlinger
Abel skrev �tte avhandlinger om elliptiske funksjoner, og var sammen med matematikeren Jacobi den som oppdaget disse funksjonenes viktigste egenskaper.
I tilknytning til disse arbeidene fant han ogs� en sats om lemniskatens deling. Denne kurven, lemniskaten, er ellers den eneste geometriske figuren som forekommer i hans matematiske arbeider.
Blant Abels mange oppdagelser regnes hans generelle addisjonssetning for algebraiske funksjoner av to variable som hans dypeste og mest vidtrekkende.
Uante sammenhenger
Det er dette addisjonsteoremet den store Parisavhandlingen omhandler, og som er blitt st�ende som et h�ydepunkt i matematikkens utvikling, og et reservoar det fremdeles str�mmer nye ideer fra.
Abels kolossale generalitet i problemstillingene gjorde at arbeidene hans �penbarte uante sammenhenger mellom tidligere atskilte omr�der - han bygget broer mellom algebra, analyse og geometri. Og med den stringens Abel i alt sitt arbeid la for dagen, var han � sammen med Gauss og Cauchy - skaper av en moderne matematisk bevisf�rsel.
Abels arbeider ble samlet av B. M. Michael Holmboe og utgitt f�rste gang i Christiania i 1839 (men uten at Parisavhandlingen var med). En st�rre og fullstendig utgave av Abels verker kom i 1881. Denne utgaven i to bind er redigert og kommentert av Sophus Lie og Ludvig Sylow. F�rste bind, i alt 621 sider i kvartformat, inneholder alt Abel rakk � f� ferdig og publisert. Andre bind, 341 sider, inneholder Abels etterlatte arbeider.
skriv ut denne artikkelen
tips en venn
|
