Cinematica del punto

La meccanica riguarda lo studio del moto di un corpo.

La Cinematica è quel ramo della Meccanica Classica che studia il moto dei corpi materiali dal punto di vista puramente geometrico, senza occuparsi di modellare matematicamente le cause che hanno prodotto quel tipo particolare di moto. Di quest'ultimo aspetto si occupa la Dinamica che, in meccanica classica d'impostazione newtoniana, tratta le forze ed i loro effetti sul moto.

Esistenza e caratteristiche del tempo

Uno dei punti di partenza della Meccanica Classica è il postulato sull'esistenza del tempo come grandezza continua e uniforme. Queste caratteristiche sono individuabili intuitivamente dal senso comune e possono essere così delineate con una discussione di tipo fenomenologico-metafisico: 1) Continuità del tempo: il tempo fluisce in modo continuo e non a scatti (come la lancetta dei secondi ad esempio) ovvero osserviamo la realtà come fluido divenire (Eraclito) e non fotogramma per fotogramma. 2) Uniformità del tempo: il tempo fluisce in modo uniforme e sempre nello stesso verso, non si osservano infatti rapporti inversi di causa-effetto o fenomeni come il deja-vu cari alla letteratura fantascientifica. Per riassumere rigorosamente queste caratteristiche i fisici ed i matematici hanno coniato un postulato fondamentale di esistenza del tempo che si può enunciare come segue: "Esiste il tempo una variabile continua sempre crescente"

Esistenza e caratteristiche dello spazio

Allo stesso modo si individua un ente chiamato spazio che ha le proprietà di continuità (come il tempo) e isotropia. Per spiegare intuitivamente queste caratteristiche si può immaginare la continuità dello spazio come assenza di zone di inaccessibilità (a meno che non siano già occupate da un corpo). Possiamo spostare con continuità un mobile senza trovare dinanzi ostacoli inspiegabili ed invisibili al suo moto. Ciò risulta possibile solo se lo spazio è dotato di continuità e non ha, per così dire, buchi. Ad esempio la materia di cui è composto un formaggio svizzero non è continua. Non possiamo spostarci in un formaggio svizzero mantenendoci sempre nel formaggio e senza cader in un buco. Se lo spazio reale avesse dei buchi, ovvero mancasse di continuità, potrebbero verificarsi brusche cadute (senza alcuna causa) oppure inspiegabili barriere trasparenti. Bisogna anche dire che in realtà, lontano dalla Terra e in prossimità dei buchi neri, lo spazio, come lo percepiamo sperimentalmente, perde la sua continuità. In prossimità di un buco nero infatti le traiettorie della luce che utilizziamo per fare le nostre misurazioni vengono deviate e la misura perde di significato nell'accezione della geometria euclidea. In questo caso possiamo supporre una perdita della continuità e dell'uniformità dello spazio che circonda il buco nero che pertanto viene indicato anche come una singolarità dello spazio. L'isotropia è l'assenza di direzioni preferenziali nello spazio, ovvero lo spazio ci appare con le stesse proprietà geometriche in tutti i luoghi. Se un oggetto à rettilineo questo oggetto non appare curvo o di lunghezza diversa se viene spostato in un punto differente dello spazio. Anche questa accezione dello spazio (isotropia) è valida in Meccanica Classica ma non in generale in altre teorie Fisiche più generali. In Cinematica ci si occupa solo di spazi che non creano troppi problemi, anzi più esattamente di spazi euclidei tridimensionali e quindi si assume come postulato lo spazio continuo, isotropo, euclideo, tridimensionale. Sussiste quindi, come per il tempo, il postulato seguente "Esiste lo spazio ente continuo, isotropo ed euclideo"

Nozione di Punto Materiale

La modellazione matematica del moto, passa per una idealizzazione dei corpi materiali come percepiti dall'esperienza comune. In Cinematica infatti i corpi materiali, estesi nello spazio tridimensionale per loro natura, sono idealizzati geometricamente come contratti in un solo punto geometrico (ente geometrico zero-dimensionale). Questa idealizzazione è alla base del concetto di Punto Materiale che costituisce quindi una forte semplificazione della realtà tridimensionale ed estesa dei corpi materiali. La dinamica del corpo rigido descrive la complessità degli oggetti estesi come sistemi di punti materiali vincolati rigidamente consentendo una trattazione fisica completa dei corpi estesi. In Cinematica si semplifica l'approccio alla realtà utilizzando la nozione di Punto Materiale e quindi si dovrebbe utilizzare la dizione Punto Materiale in luogo di corpo proprio per sottolineare sempre il grado di idealizzazione descritto.

Traiettoria di un Punto Materiale

Le posizioni successive occupate dal punto materiale nello spazio al variare del tempo costituisce un insieme continuo di punti che prende il nome di Traiettoria del punto materiale nello spazio.

Dallo spazio reale allo spazio vettoriale

Se gli oggetti reali sono assimilati a punti materiali, lo spazio tridimensionale, reale così come ci appare dall'esperienza quotidiana, viene modellato matematicamente attraverso la nozione di Spazio vettoriale. Tale nozione ha una generalità così elevata da essere impiegata tanto in Fisica quanto in altre branche del sapere umano. Per quel che concerne la Cinematica, lo spazio vettoriale che si utilizza è quello tridimensionale ed euclideo. Lo Spazio Vettoriale non è altro che una coppia di insiemi che vengono dotati di operazioni con ben definite proprietà. Il primo insieme contiene degli elementi chiamati vettori che possono essere sommati secondo determinate regole che si vedranno successivamente. Il secondo insieme è costituito da numeri (scalari) e viene definito il prodotto di uno scalare per un vettore utile per la modellazione di quantità Fisiche. Inoltre lo Spazio Vettoriale utilizzato in Cinematica è anche euclideo ovvero è definito una operazione di prodotto scalare da cui viene derivata una definizione di distanza tra due elementi che è equivalente alla distanza definita per i punti dello spazio geometrico euclideo (ed a sua volta dal Teorema di Pitagora e dall'utilizzo del metodo delle coordinate ideato da Cartesio). Ogni punto dello spazio reale pertanto è modellato come punto dello Spazio Vettoriale della Cinematica che per essere individuata sotto forma di vettore richiede la definizione di un punto di osservazione. Sia dunque P un punto generico dello spazio e $O$ un punto di osservazione che per definizione è fisso. Il segmento orientato da $O$ a $P$ è rappresentativo del vettore dello Spazio Vettoriale che rappresenta lo spazio reale. È importante discernere le nozioni di segmento orientato e vettore. Il segmento orientato è solo la rappresentazione grafica del vettore così come la cifra 3 è solo il modo in cui si scrive il terzo numero naturale. Infatti tutti i segmenti orientati paralleli a ${\vec {OP}}$ ed aventi la stessa lunghezza e orientamento sono per definizione rappresentativi dello stesso vettore così come i numeri 2, 8/4, 16/8 sono differenti rappresentazioni del secondo numero naturale.

Vettore di posizione

Se $O$ è la posizione dell'osservatore e $P$ la generica posizione di un punto materiale nello spazio geometrico, si definisce vettore di posizione il vettore ${\vec {r}}$ rappresentato dal segmento orientato ${\vec {OP}}$. Per indicare questa corrispondenza in questa trattazione si utilizzerà la scrittura ${\vec {r}}\sim {\vec {OP}}$. Il vettore di posizione dipende dalla scelta del punto di osservazione $O$ ma la sua definizione permette di costruire delle quantità che sono indipendenti dalla scelta del punto di osservazione. Queste quantità sono la velocità e l'accelerazione vettoriale.

Posizione

Per definire la posizione di un corpo è necessario definire un Sistema di riferimento ad esempio una linea con sopra delle tacche e dei numeri oppure un sistema di due assi la cui origine è definita in qualche modo (esempio il centro del campo di calcio 'Delle Alpi' di Torino o qualsiasi altro a seconda della squadra o dello sport preferito). La mia attuale posizione (ad esempio definendo asse X il senso della lunghezza del campo con i positivi verso nord e asse Y il senso della larghezza con i positivi verso est) è (circa) x=4577 m ; y=2314 m . Si può definire lo spostamento in funzione del tempo facendo corrispondere ad ogni t una posizione (x,y) nel piano, oppure (x,y,z) nello spazio:

${\vec {s}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}$

Moto rettilineo

Cominciamo analizzando un semplice moto lungo una retta detto appunto moto rettilineo.

Velocità

La rapidità con cui avviene lo spostamento lungo la traiettoria nel tempo determina una grandezza detta velocità media data dalla seguente relazione

$v_{m}={\frac {x-x_{0}}{t-t_{0}}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$.

Un esempio chiaro a tutti può essere quello del moto di un'automobile che percorre 60 km in 30 minuti: essa avrà una velocità media di 120 km/h. Possiamo chiederci quale potrebbe essere la velocità in ogni istante e per fare questo dovremo considerare piccolissimi intervalli di tempo, in pratica dovremo far tendere $\Delta t\,\!$ a zero. La velocità così ottenuta è detta velocità istantanea che rappresenta la rapidità di variazione della posizione all'istante scelto.

Questa è data quindi da

$v(t)={\frac {dx}{dt}}$

e se volessimo trovare lo spazio percorso dall'istante iniziale all'istante $t$ non dovremmo far altro che utilizzare le regole di integrazione e quindi

$dx=v(t)dt\Rightarrow \int _{x_{0}}^{x}dx=\int _{t_{0}}^{t}v(t)dt\Rightarrow x-x_{0}=\int _{t_{0}}^{t}v(t)dt\Rightarrow x(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}v(t)dt$

Questa è la regola generale che mette in relazione la velocità con lo spazio percorso. Nel caso in cui la velocità fosse costante, si partisse al tempo $\ t_{0}=0$ e dall'origine del sistema di riferimento, cioè $\ x_{0}=0$, avremmo la relazione

$\ x=vt$

che esprime un moto rettilineo uniforme

Accelerazione

Lo stesso ragionamento può essere fatto con la velocità: infatti anch'essa potrebbe variare nel tempo ed il tasso di variazione è dato da una grandezza chiamata accelerazione. Anche per l'accelerazione possiamo definire una accelerazione media ed una accelerazione istantanea date dalle seguenti relazioni

$a_{m}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$ e $a(t)={\frac {dv}{dt}}$

Anche per l'accelerazione, integrando otteniamo la relazione che la lega alla velocità

$dv=a(t)dt\Rightarrow \int _{v_{0}}^{v}dv=\int _{t_{0}}^{t}a(t)dt\Rightarrow v-v_{0}=\int _{t_{0}}^{t}a(t)dt\Rightarrow v(t)=v_{0}+\int _{t_{0}}^{t}a(t)dt$

ed anche in questo caso se $v_{0}=0\,\!$,$a=costante\,\!$ e si partisse al tempo $t_{0}=0\,\!$ avremmo la relazione $a=v/t\,\!$ che definisce un moto uniformemente accelerato

Combinando i risultati ottenuti e considerando $v\,\!$ ed $a\,\!$ costanti possiamo ottenere la legge che definisce il moto uniformemente accelerato

$x(t)=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}a(t-t_{0})^{2}$

e se $t_{0}=0\,\!$

$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$

Moto armonico

Analizziamo ora un altro tipo di moto nel quale un corpo ripassa nella stessa posizione ad intervalli regolari e con la stessa velocità (si pensi al moto di un pendolo).

Prendiamo un percorso chiuso come una circonferenza: in questo caso il punto ripassa dal punto di partenza dopo aver percorso in giro completo e quindi copre un angolo di $2\pi \,\!$ in un tempo $T\,\!$ detto periodo e chiamiamo frequenza il numero di volte che esso percorre la circonferenza in un secondo. Diciamo quindi

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ e $\nu ={\frac {1}{T}}$

dove $\omega \,\!$ è la velocità del punto.

Se analizziamo la traiettoria del punto possiamo notare che la sua posizione è determinata da un angolo rispetto al centro della circonferenza stessa ed, al variare della posizione, l'angolo muta con una certa velocità. Seguendo ciò che abbiamo detto precedentemente per il moto rettilineo anche l'angolo (che possiamo equiparare allo spazio percorso) è legato alla velocità di percorrenza sulla circonferenza da

$\theta =\theta _{0}+\omega t\,\!$.

Analizziamo la posizione del corpo proiettata sull'asse delle ordinate. Se la circonferenza ha un raggio $A\,\!$ il moto su di essa posizione è data da

$y(t)=A\sin(\omega t+\theta _{0})\,\!$

Notiamo che l'oscillazione della proiezione della posizione del punto attorno al centro della circonferenza ha un valore massimo equivalente al raggio della circonferenza chiamato ampiezza.

Derivando la posizione otteniamo la velocità

$v(t)=\omega Acos(\omega t+\theta _{0})\,\!$

che è massima quando il punto passa per il centro ovvero se

$\cos(\omega t+\theta _{0})=\pm 1\Rightarrow \omega =0+n\pi ,\theta _{0}=0+n\pi$.

L'accelerazione viene ricavata derivando la velocità

$a(t)=-\omega ^{2}A\sin(\omega t+\theta _{0})=-\omega ^{2}x\,\!$

Da quest'ultima ricaviamo la condizione necessaria perché un moto sia armonico e cioè

$a=-\omega ^{2}x\Rightarrow {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x\Rightarrow {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0$

Da questa possiamo dedurre che le funzioni seno e coseno e le loro combinazioni lineari sono in $\Re$ (campo reale) tutte e sole le soluzioni dell'equazione differenziale ottenuta. Più in generale se abbiamo un'equazione del tipo

${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}+k^{2}f=0$

la soluzione è sempre

$f(z)=A\sin(kz+\phi )\,\!$

Moto nel piano

Estendiamo ora i concetti di moto nel caso che la traiettoria sia una linea curva su un piano. Ora non ci basta più sapere il valore numerico di uno spostamento ma ci deve interessare conoscerne anche la direzione ed il verso.

Questo è possibile se si utilizzano grandezze che hanno caratteristiche numeriche e direzionali che si chiamano vettori.

Coordinate polari e cartesiane

Inoltre possiamo utilizzare due differenti sistemi di coordinate: cartesiane e polari. La differenza sta nel fatto che le coordinate cartesiane sono date dalla proiezione della posizione del punto sugli assi cartesiani e quelle polari dalla distanza r del punto dall'origine degli assi chiamata raggio vettore e dall'angolo $\theta \,\!$ formato con l'asse delle ascisse. Le relazioni tra le coordinate sono le seguenti

$x=r*\cos \theta ,y=r*\sin \theta ,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},tg\theta ={\frac {y}{x}}$,

Posizione e velocità

Analizziamo ora la posizione di un punto in coordinate polari che in un tempo t percorre un tratto di traiettoria. Le posizioni sono ${\vec {r}}(t)$ ed ${\vec {r}}(t+\Delta t)$; la distanza tra di essi è

${\vec {r}}(t)-{\vec {r}}(t+\Delta t)$

e la velocità media è data da

${\frac {{\vec {r}}(t)+{\vec {r}}(t+\Delta t)}{\Delta t}}$

Notiamo che la distanza dei punti non coincide con la traiettoria percorsa ma è solo la misura della distanza tra le due posizioni su un piano mentre la vera velocità lungo la traiettoria è ${\frac {ds}{dt}}$. Ma se noi facessimo tendere $\Delta t\to 0$, avremmo che ${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$, ed il vettore $d{\vec {r}}$ diventerebbe tangente alla traiettoria e coinciderebbe in modulo con l'infinitesimo spostamento $ds\,\!$. Se ne ricava allora che

${\vec {r}}=ds*{\vec {u}}_{T}$

dove ${\vec {u}}_{T}$ non è altro che il versore (un vettore unitario) che dà la direzione dello spostamento. Ricaviamo così che

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}*{\vec {u}}_{T}=v*{\vec {u}}_{T}$ dove $u_{T}$ non è altro che il rapporto ${\frac {dr}{ds}}$

e quindi possiamo dedurre che la velocità vettoriale individua in ogni istante la direzione ed il verso del movimento e ci da la velocità istantanea

$v={\frac {ds}{dt}}$

con la quale è percorsa la traiettoria. Analogamente a quanto detto per il moto rettilineo integrando l'espressione

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$

otteniamo quella generale che collega posizione e velocità data da

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}{\vec {v}}(t)dt$

Accelerazione

Sempre rifacendosi agli stessi concetti generali troviamo l'espressione dell'accelerazione

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

integrando ne segue che

${\vec {v}}(t)={\vec {v}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}{\vec {a}}(t)dt$

L'attenzione va posta su un concetto che val la pena di ricordare: La derivata di un versore e di un vettore. Nello svolgimento dei calcoli di derivazione di vettori spesso incontriamo la derivata di un versore che come ricordiamo è un vettore unitario ed è dato da

${\frac {d{\vec {u}}}{dt}}={\frac {d\phi }{dt}}{\vec {u}}_{N}$

dove $\phi \,\!$ è l'angolo infinitesimo e ${\vec {u}}_{N}$ è la componente normale alla direzione del versore. Per la derivata di un vettore abbiamo invece

${\frac {d{\vec {a}}}{dt}}={\frac {da}{dt}}{\vec {u}}+a{\frac {d{\vec {u}}}{dt}}$

Nel caso dell'accelerazione per esempio svolgendo i calcoli abbiamo

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}(v{\vec {u}}_{T})={\frac {dv}{dt}}{\vec {u}}_{T}+v{\frac {d{\vec {u}}_{T}}{dt}}={\frac {dv}{dt}}{\vec {u}}_{T}+v{\frac {d\phi }{dt}}{\vec {u}}_{N}$

Quindi l'accelerazione ha due componenti, una tangenziale data da ${\frac {dv}{dt}}{\vec {u}}_{T}$, ed una normale alla stessa data da $v{\frac {d\phi }{dt}}{\vec {u}}_{N}$, che possiamo scrivere, ricordando che ${\frac {d\phi }{dt}}={\frac {d\phi }{ds}}{\frac {ds}{dt}}={\frac {1}{R}}v$ e che $ds=d\phi *R\,\!$, come

${\frac {v^{2}}{R}}{\vec {u}}_{N}$.

Possiamo quindi dire che

${\vec {a}}={\frac {dv}{dt}}{\vec {u}}_{T}+{\frac {v^{2}}{R}}{\vec {u}}_{N}={\vec {a}}_{T}+{\vec {a}}_{N}$

Moto circolare

A questo punto possiamo analizzare un moto che si svolge su di una circonferenza. Cominciamo con l'analizzare un moto a velocità costante. La costanza della velocità fa si che il termine dell'accelerazione tangenziale ${\frac {dv}{dt}}$ sia nullo. In questo caso l'accelerazione è data solo da

$a={\frac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R$.

Ricordiamo dal moto armonico che il periodo vale $T={\frac {2\pi }{\omega }}$. Nel caso vari anche il modulo della velocità abbiamo un contributo anche dalla accelerazione tangenziale. Questo ci permette di definire una quantità detta accelerazione angolare che è data da

$\alpha ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {a_{T}}{R}}$.

A questo punto integrando avremo l'espressione della velocità angolare data da

$\omega (t)=\omega (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\alpha (t)dt$

ed integrando nuovamente anche l'espressione dell'angolo percorso

$\theta (t)=\theta (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\omega (t)dt$

Velocità angolare - Notazione vettoriale

La velocità angolare può essere descritta da una quantità vettoriale che definisce il verso di percorrenza sulla circonferenza ed il modulo. La direzione di questo vettore è perpendicolare al piano del moto ed il verso è dato dalla regola della mano destra, ovvero dal vertice del vettore il moto deve apparire in senso antiorario.

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

Questa relazione ci permette di ottenere l'accelerazione del moto circolare dalla velocità angolare e dall'accelerazione angolare tramite la seguente relazione

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$

e quindi

${\vec {a}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}={\vec {a}}_{T}+{\vec {a}}_{N}$