Les mathématiques étaient au départ expérimentales (stade égyptien), puis devenues pures (Euclide) mais gardant cette expérimentation dans la nécessité de décrire la réalité, donc d'être utile ( -> choix des axiomes), d'avoir un sens.
Actuellement, toujours cette vocation qui guide le choix des axiomes (mais les mathématiques sont quand même pures car le choix arbitraire des axiomes suffit à garantir la vérité des déductions ; différence avec la physique qui pose aussi des principes mais non pas en soi mais par rapport à la réalité -> fausseté possible des principes).
A ce but se superpose aussi un intérêt an soi des axiomes ou des définitions : l'intérêt subjectif, plaisir ou beauté des résultats : -> art, même si comme l'origine du sentiment de beauté est inconnu précisément, ceci n'est pas a priori incompatible avec les critères utilitaires.