Průnik

V matematice se jako průnik dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje pouze ty prvky, které se nalézají ve všech těchto množinách. Průnik množin A a B se označuje symbolem A ∩ B.

Formální definice

Pro všechna x platí, že $x\in \left(A\cap B\right)\equiv \left(x\in A\right)\land \left(x\in B\right)$ .

V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že x ∈ A ∩ B ∩ C iff x ∈ A a zároveň x ∈ B a zároveň x ∈ C. Průnik $n$ množin $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ lze zkráceně psát

$A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}=\bigcap _{i=1}^{n}{A_{i}}$

Příklad: Průnikem množin { 1, 2, 5, 6, 8, 11 } a { 2, 3, 4, 6, 8, 9 } je množina { 2, 6, 8 }. Průnikem množin všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, … } a množiny sudých kladných čísel { 2, 4, 6, 8, … } je jednoprvková množina { 2 } (jelikož 2 je jediné sudé prvočíslo).

Vlastnosti

Operace průniku dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Současný průnik všech tří množin – A ∩ B ∩ C – je oběma těmto výrazům roven, proto je možno psát průnik libovolného množství množin bez použití závorek.

Průnik je komutativní operace, platí tedy, že A ∩ B = B ∩ A.

Neutrálním prvkem pro operaci průniku je univerzum, tzn. množina všech prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy $A\cap I=A$ .

Výsledkem průniku množiny $A$ s prázdnou množinou je opět prázdná množina, tzn. $A\cap \emptyset =\emptyset$ .

Je-li výsledkem průniku dvou množin $A,B$ prázdná množina, pak platí $A\cap B=\emptyset \leftrightarrow B\subseteq -A$ , kde $-A$ je doplňkem množiny $A$ .