Zlatý prostorový úhel

Zlatý prostorový úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:

${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\beta }{4\pi }}$ - myšleno v steradiánech

$\alpha +\beta =4\pi$

Výpočet

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez ($\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

$\beta =\varphi \alpha$

$4\pi =\varphi \beta$

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

$4\pi =\varphi ^{2}\alpha$

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:

${\frac {4\pi }{\varphi ^{2}}}=\alpha$

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\beta }{4\pi }}$

$\alpha +\beta =4\pi$

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

$\beta =4\pi -\alpha$

${\frac {\alpha }{4\pi -\alpha }}={\frac {4\pi -\alpha }{4\pi }}$

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

$4\pi \alpha =16\pi ^{2}-8\pi \alpha +\alpha ^{2}$

$0=16\pi ^{2}-12\pi \alpha +\alpha ^{2}$

A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α₁ a α₂.

$\alpha _{1,2}={\frac {12\pi \pm {\sqrt {80}}\pi }{32}}$

$\alpha _{1}={\frac {12\pi +{\sqrt {80}}\pi }{32}}={\frac {{\sqrt {14}}\pi }{8}}$

$\alpha _{2}={\frac {12\pi -{\sqrt {80}}\pi }{32}}={\frac {\pi }{4}}$

Související články

• Zlatý řez
• Zlatý úhel
• Prostorový úhel

Portály: Matematika