Woodall-Zahl

Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form:

W_{n}=n\cdot 2^{n}-1

für eine natürliche Zahl $n\geq 1$ . Die ersten Woodall-Zahlen sind:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 10239, 22527, 49151, 106495, 229375, 491519, 1048575, 2228223, 4718591, 9961471, 20971519, 44040191, … (Folge A003261 in OEIS)

Geschichte

Woodall-Zahlen wurden zuerst von Allan J. C. Cunningham und H. J. Woodall im Jahr 1917 beschrieben.^[1] Dabei wurden beide inspiriert von James Cullen, der eine ähnliche Zahlenfolge definierte: die Cullen-Zahlen.

Woodall-Primzahlen

Eine Woodall-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, wird als Woodall-Primzahl bezeichnet. Die ersten Exponenten $n$ , für die Woodall-Zahlen solche Woodall-Primzahlen darstellen, sind:

n

= 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602, … (Folge A002234 in OEIS)

W_{n}

= 7, 23, 383, 32212254719, 2833419889721787128217599, … (Folge A050918 in OEIS)

Vor allem die größeren Woodall-Primzahlen wurden durch das BOINC-Projekt PrimeGrid gefunden.

Die bisher größte Woodall-Primzahl wurde am 22. März 2018 berechnet und lautet:

W_{17016602}=17016602\cdot 2^{17016602}-1=8508301\cdot 2^{17016603}-1

Diese Zahl hat 5.122.515 Stellen und wurde vom Italiener Diego Bertolotti, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.^[3]^[4]

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Woodall-Zahlen bis $n<14508061$ gibt.^[5] Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Eigenschaften von Woodall-Zahlen

Fast alle Woodall-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen (bewiesen von Christopher Hooley im Jahr 1976).^[6]^[7]
Die Primzahl $p$ teilt die Woodall-Zahl $W_{\frac {p+1}{2}}$ , wenn das Jacobi-Symbol $\left({\frac {2}{p}}\right)=+1$ ist.^[6]
Die Primzahl $p$ teilt die Woodall-Zahl $W_{\frac {3p-1}{2}}$ , wenn das Jacobi-Symbol $\left({\frac {2}{p}}\right)=-1$ ist.^[6]
Es gilt:

W_{4}=4\cdot 2^{4}-1=63

und

W_{5}=5\cdot 2^{5}-1=159

sind beide durch drei teilbar.

Jede weitere sechste Woodall-Zahl

W_{n}

ist ebenfalls durch

3

teilbar. Somit ist

W_{n}

nur dann möglicherweise eine Woodall-Primzahl, wenn der Index

n

nicht ein Vielfaches von 4 oder 5 (modulo 6) ist.

Die einzigen beiden bekannten Primzahlen, die Woodall-Primzahlen und gleichzeitig Mersenne-Primzahlen darstellen, sind (Stand: Mai 2019):

{\begin{array}{rrrrl}W_{2}=&M_{3}=&2\cdot 2^{2}-1=&2^{3}-1=&7\\W_{512}=&M_{521}=&512\cdot 2^{512}-1=&2^{521}-1\approx &6{,}8648\cdot 10^{156}\end{array}}

Verallgemeinerte Woodall-Zahlen

Zahlen der Form $n\cdot b^{n}-1$ mit $n+2>b$ bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen.

Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Woodall-Primzahl.

Die Bedingung $n+2>b$ ist notwendig, denn ohne diese Bedingung wäre jede Primzahl $p$ eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl, weil $p=1\cdot (p+1)^{1}-1$ wäre.^[6]

Die kleinsten $n$ , für die $n\cdot b^{n}-1$ prim ist, sind für aufsteigendes $b$ = 1, 2, …:

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, … (Folge A240235 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Woodall-Primzahlen für Basen von $b$ zwischen 1 und 30.^[8] Diese $n$ wurden zumindest bis 200000 untersucht. Wenn für $n$ die Bedingung $n+2>b$ nicht gilt, aber trotzdem die Zahl $n\cdot b^{n}-1$ prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

$b$	$n$ , sodass $n\cdot b^{n}-1$ prim ist	untersucht bis	OEIS-Folge
1	3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (alle Primzahlen plus 1)	alle Primzahlen	Folge A008864 in OEIS
2	2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602,…	14508061	Folge A002234 in OEIS
3	(1), 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, …	1058000	Folge A006553 in OEIS
4	(1, 2), 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, …	1000000	Folge A086661 in OEIS
5	8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, …	1000000	Folge A059676 in OEIS
6	(1, 2, 3), 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, …	876000	Folge A059675 in OEIS
7	(2), 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, …	350000	Folge A242200 in OEIS
8	(1, 2), 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, …	513000	Folge A242201 in OEIS
9	10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, …	975000	Folge A242202 in OEIS
10	(2, 3, 8), 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, …	500000	Folge A059671 in OEIS
11	(2, 8), 252, 1184, 1308, …	500000	Folge A299374 in OEIS
12	(1, 6), 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, …	500000	Folge A299375 in OEIS
13	(2, 6), 563528, …	570008	Folge A299376 in OEIS
14	(1, 3, 7), 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, …	500000	Folge A299377 in OEIS
15	(2, 10), 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, …	500000	Folge A299378 in OEIS
16	167, 189, 639, …	500000	Folge A299379 in OEIS
17	(2), 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, …	400000	Folge A299380 in OEIS
18	(1, 2, 6, 8, 10), 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, …	400000	Folge A299381 in OEIS
19	(12), 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, …	400000	Folge A299382 in OEIS
20	(1, 18), 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, …	250000	Folge A299383 in OEIS
21	(2, 18), 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, …	200000
22	(2, 5), 140, 158, 263, 795, 992, 341351, …	200000
23	29028, …	200000
24	(1, 2, 5, 12), 124, 1483, 22075, 29673, 64593, …	200000
25	(2), 68, 104, 450, …	500000
26	(3, 8), 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, …	200000
27	(10, 18, 20), 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, …	450000
28	(2, 5, 6, 12, 20), 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, …	200000
29	26850, 237438, 272970, …	200000
30	(1), 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, …	200000

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Woodall-Primzahl ist $5287180\cdot 9^{5287180}-1=5287180\cdot 3^{10574360}-1$ . Sie hat 5.045.259 Stellen und wurde am 3. November 2024 von Ryan Propper und Serge Batalov entdeckt.^[9]^[10]

Siehe auch

Cullen-Zahl

Literatur

J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

Weblinks

Einzelnachweise

↑ A. J. C Cunningham, H. J. Woodall: Factorisation of $Q=(2^{q}\mp q)$ and $(q\cdot {2^{q}}\mp 1)$ . In: Messenger of Mathematics. 1917, S. 1 von 151.
↑ Eric W. Weisstein: Woodall Number. Abgerufen am 25. Mai 2019 (englisch).
↑ PrimeGrid’s Woodall Prime Search, 17016602·2^17016602 - 1. (PDF) PrimeGrid, abgerufen am 26. April 2018.
↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Woodall Primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018.
↑ Weisstein, Eric W.: Woodall Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016.
↑ ^a ^b ^c ^d Chris K.Caldwell: Woodall Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016.
↑ Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward: Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. In: RI: American Mathematical Society. 2003, ISBN 0-8218-3387-1, S. 94.
↑ Liste der verallgemeinerten Woodall-Primzahlen mit Basis 3 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016.
↑ Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 5287180·3^10574360 - 1. Prime Pages, abgerufen am 30. Dezember 2024.
↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Woodall. Prime Pages, abgerufen am 30. Dezember 2024.

[1] A. J. C Cunningham, H. J. Woodall: Factorisation of $Q=(2^{q}\mp q)$ and $(q\cdot {2^{q}}\mp 1)$ . In: Messenger of Mathematics. 1917, S. 1 von 151.

[2] Eric W. Weisstein: Woodall Number. Abgerufen am 25. Mai 2019 (englisch).

[3] PrimeGrid’s Woodall Prime Search, 17016602·2^17016602 - 1. (PDF) PrimeGrid, abgerufen am 26. April 2018.

[4] Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Woodall Primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018.

[5] Weisstein, Eric W.: Woodall Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016.

[EigenschaftenWoodall-6] Chris K.Caldwell: Woodall Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016.

[7] Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward: Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. In: RI: American Mathematical Society. 2003, ISBN 0-8218-3387-1, S. 94.

[8] Liste der verallgemeinerten Woodall-Primzahlen mit Basis 3 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016.

[9] Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 5287180·3^10574360 - 1. Prime Pages, abgerufen am 30. Dezember 2024.

[10] Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Woodall. Prime Pages, abgerufen am 30. Dezember 2024.

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