Kontraŭekzemplo

En logiko, kaj aparte en ties aplikoj al matematiko kaj filozofio, kontraŭekzemplo estas escepto al proponita ĝenerala regulo, kiu estas, specifa manifestaĵo de la malvereco de universala kvantizanto ("por ĉiuj"-aserto).

Ekzemple, konsideru la frazon "ĉiuj studentoj estas mallaboremaj". Ĉar tiu frazo asertas, ke certa eco (mallaboremo) validas por ĉiuj studentoj, eĉ sola ekzemplo de diligenta studento pruvos ĝin malvera. Tial, iu ajn peze-laboranta studento estas kontraŭekzemplo al "ĉiuj studentoj estas mallaboremaj".

En matematiko, ĉi tiu termino estas (iomete misuze) ankaŭ ofte uzata por ekzemploj ilustrantaj la necesecon de la plena hipotezo de teoremo, per konsiderado de kazo, en kiu parto de la hipotezo estas ne plenumita, kaj kie oni povas montri, ke la konkludo ne validas.

Pruvo

En la simbola logiko kontraŭekzemploj funkcias jene:

• La aserto kiu estu malpruvita estas de la formo $\forall x:P(x)$.
• La kontraŭekzemplo provizas veran aserton de la formo $\neg P(k)$, kie $k$ estas la kontraŭekzemplo.
• Premisu, ke la aserto $\forall x:P(x)$ estas vera.
• Per universala ekzemplerigo, deduktu de tio ĉi, ke $P(~k~)$.
• Nun, formu la konjunkcion (kajon) $P(k)\land \neg P(k)$.
• Tio estas kontraŭdiro pruvanta, ke nia premiso $\forall x:P(x)$ estas fakte malvera.

Kvankam ĉi tiu argumento estas pruvo per kontraŭdiro, ĝi ne sin apogas sur duobla neo, do ĝi funkcias en intuicieca logiko same kiel en klasika logiko.

La frazo "la escepto pruvas la regulon" ŝajnas esti malkongrua. Ordinara miskompreno estas, ke kiam ĉi tiu estis originale dirita kiel maksimo, "pruvo" intencis diri "provo". Fakte, kiel la OED klarigas, la fonto de la esprimo estas jura maksimo, kies signifo, en ĝeneralaj termoj, estas, ke kiam io estas traktata kiel escepto, ni povas konkludi, ke estas ĝenerala regulo al la kontraŭo. Ekzemple se oni diras, ke en krizo-defendo estas escepte permesite vundi alian homon, eblas konkludi, ke normale (regule) tio estas malpermesita.

La pli supra povas ankaŭ esti komprenata rimarkante, ke la nego de la frazo "por ĉiuj $x$ estas $P(x)$" estas nenio alia ol "ekzistas $x$ tia, ke ne $P(x)$" (kie $P(x)$ estas iu ajn propozicio dependanta sur $x$).

Uzoj

En matematiko

En matematiko, kontraŭekzemploj estas ofte uzataj por sondi la randojn de eblaj teoremoj. Uzante kontraŭekzemplojn por montri, ke certaj konjektoj estas malveraj, matematikaj esploristoj evitas eniri sakstratojn kaj lernas kiel modifi konjektojn por produkti pruveblajn teoremojn.

Por ludila ekzemplo, konsideru jenan situacion: Supozu, ke vi studas orkojn, kaj vi deziras pruvi certajn teoremojn pri ili. Ekzemple, vi jam pruvis, ke ĉiuj orkoj estas malbonegaj. Nun vi provas pruvi, ke ĉiuj orkoj estas mortigemaj. Se vi ne bonŝancas trovi pruvon, vi povus komenci serĉi anstataŭe orkojn, kiuj estas ne mortigemaj. Kiam vi trovas iun tian, tiu estas kontraŭekzemplo al via proponita teoremo, do vi povas ĉesi provi pruvi ĝin.

Tamen, eble vi jam rimarkis, ke eĉ kvankam vi povas trovi ekzemplerojn de orkoj, kiuj ne mortigemas, vi tamen tute ne trovas iujn ajn ekzemplerojn de orkoj, kiuj ne estas danĝeraj. Tiam vi havas novan ideon por teoremo, ke ĉiuj orkoj estas danĝeraj. Ĉi-tiu estas pli malforta ol via originala propono, ĉar ĉiu mortigema estulo estas danĝera, eĉ kvankam ne ĉiu danĝera estulo estas mortigema. Tamen, ankoraŭ tre utilas tion scii, do vi povas provi pruvi ĝin. Aliflanke, eble vi jam rimarkis, ke neniu el la kontraŭekzemploj, kiujn vi trovis al via originala konjekto estis uruko (t.e., elita orka militisto). Tiam vi povus proponi novan konjekton, ke ĉiuj urukoj estas mortigemaj. Denove, ĉi tio estas pli malforta ol via originala propono, ĉar plej multaj orkoj estas ne urukoj. Tamen, se vi plejparte estas interesita pri urukoj, tiam ĉi tio ankoraŭ estos tre utila teoremo.

Tio estas tre bizara ekzemplo kaj neniel rilatas al matematiko.

Matematika kontraŭekzemplo estus io ĉi tia: Se vi havas teoremon, kiu diras "ĉiuj nombroj, kiuj estas ne negativaj, estas pozitivaj," kaj iu rimarkigas, ke nulo estas ne negativa, sed estas ankaŭ ne pozitiva, tiam nulo devus esti kontraŭekzemplo. Ĉi-tiu estas tre evidenta kontraŭekzemplo, sed la sama baza ideo enportas pli komplikajn areojn de matematiko.

Uzante kontraŭekzemplojn en tia maniero pruviĝas tiel utila en la kampo de topologio, ke la topologiistoj Lynn A. Steen kaj J. Arthur Seebach, Jr., kaj ankaŭ iliaj diplomitaj studentoj, priskribis la kampon per granda aro da ekzemploj de topologiaj spacoj, publikigante la rezultojn en la libro Counterexamples in Topology (ISBN 0-486-68735-X). Se vi scivolas, ĉu iu propraĵo de topologiaj spacoj sekvas el alia, ĉi tiu libro povas kutime provizi kontraŭekzemplon, se ĝi estas malvera.

Post tiam, kelkaj aliaj libroj kaj artikoloj pri Kontraŭekzemploj en ... aperis, ekzemple de Gary L. Wise kaj Eric B. Hall pri probablokalkulo kaj reela analitiko.

En filozofio

En filozofio, kontraŭekzemploj estas kutime uzataj por argumenti, ke certa filozofia pozicio estas erara, montrante, ke ĝi ne validas en certaj kazoj. Malkiel matematikistoj, filozofoj ne povas pruvi siajn pretendojn preter ĉia dubo, do aliaj filozofoj estas liberaj malkonsenti kaj provi trovi kontraŭekzemplojn en respondo. Kompreneble, nun la unua filozofo povas argumenti, ke la pretendata kontraŭekzemplo ne reale aplikeblas. Alternative, la unua filozofo povas modifi sian pretendon tiel, ke la kontraŭekzemplo ne plu aplikeblas; ĉi tio estas analoga al kiam matematikisto modifas konjekton pro kontraŭekzemplo.

Ekzemple, en la verko Gorgias de Platono Kallikles, provante difini, kion signifas diri, ke iu popolo estas "pli bona" ol aliaj, pretendas, ke tiuj, kiuj estas pli fortaj, estas pli bonaj. Sed Sokrato respondas, ke pro sia forteco nombra la klaso "ordinara kanajlaro" estas pli forta ol la propraĵula klaso de nobeloj, eĉ kvankam la amasoj estas unuavide de pli malbona karaktero. Tiel Sokrato estas proponinta kontraŭekzemplon al la pretendo de Kallikles, per rigardo en areo, kiun Kallikles eble ne atendis — grupoj da homoj prefere al individuaj personoj. Kallikles povus defii la kontraŭekzemplon de Sokrato, argumentante eble, ke la komuna kanajlaro reale estas pli bona ol la nobeloj, aŭ, ke eĉ en siaj grandaj nombroj ili ankoraŭ estas ne pli fortaj. Sed se Kallikles akceptas la kontraŭekzemplon, tiam li devas aŭ malfari sian pretendon aŭ modifi ĝin tiel, ke la kontraŭekzemplo ne plu aplikeblas. Ekzemple, li povus modifi sian pretendon tiel, ke ĝi temu nur pri unuopaj personoj, kio postulas de li konsideri la ordinaran popolon kiel kolekton de individuoj prefere ol kiel amasaĉo. Fakte, li modifas sian pretendon por diri "pli saĝa" anstataŭ "pli forta", argumentante, ke neniu kvanto de cifereca supereco povas fari homgrupon pli saĝa.