کاربر:Mrddjdd/صفحه تمرین

÷÷÷÷÷÷÷÷==

صفحهٔ اقیانوس آرام
#fb9a7a|تست۲
صفحهٔ آمریکای شمالی	۷۵٫۹
صفحهٔ اوراسیا	۶۷٫۸
صفحهٔ جنوبگان	۶۰٫۹
صفحهٔ هند-استرالیا	۴۷٫۲
صفحهٔ آمریکای جنوبی	۴۳٫۶

---

---

The particular notations used are:

• the falling factorial power ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$,
• the rising factorial power ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$,
• the factorial ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$
• the Stirling number of the second kind ${\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$, denoting the number of ways to partition a set of n elements into k non-empty subsets
• the binomial coefficient ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}$
• the Iverson bracket [ ] encoding a truth value as 0 or 1
• the number ${\textstyle p_{k}(n)}$ of partitions of n into k parts

Intuitive meaning of the rows and columns

This is a quick summary of what the different cases mean. The cases are described in detail below.

Think of a set of X numbered items (numbered from 1 to x), from which we choose n, yielding an ordered list of the items: e.g. if there are $x=10$ items of which we choose $n=3$, the result might be the list (5, 2, 10). We then count how many different such lists exist, sometimes first transforming the lists in ways that reduce the number of distinct possibilities.

Then the columns mean:

Any f

After we choose an item, we put it back, so we might choose it again.

Injective f

After we choose an item, we set it aside, so we can't choose it again; hence we'll end up with n distinct items. Necessarily, then, unless $n\leq x$, no lists can be chosen at all.

Surjective f

After we choose an item, we put it back, so we might choose it again — but at the end, we have to end up having chosen each item at least once. Necessarily, then, unless $n\geq x$, no lists can be chosen at all.

And the rows mean:

Distinct

Leave the lists alone; count them directly.

S_n orbits

Before counting, sort the lists by the item number of the items chosen, so that order doesn't matter, e.g., (5, 2, 10), (10, 2, 5), (2, 10, 5) → (2, 5, 10).

S_x orbits

Before counting, renumber the items seen so that the first item seen has number 1, the second 2, etc. Numbers may repeat if an item was seen more than once, e.g., (3, 5, 3), (5, 2, 5), (4, 9, 4) → (1, 2, 1) while (3, 3, 5), (5, 5, 3), (2, 2, 9) → (1, 1, 2).

S_n × S_x orbits

Two lists count as the same if it is possible to both reorder and relabel them as above and produce the same result. For example, (3, 5, 3) and (2, 9, 9) count as the same because they can be reordered as (3, 3, 5) and (9, 9, 2) and then relabeling both produces the same list (1, 1, 2).

For example, if n = 10 and k = 4, the theorem gives the number of solutions to x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10 (with x₁, x₂, x₃, x₄ $\geq 0$ ) as:

$\left(\!\!{k \choose n}\!\!\right)={k+n-1 \choose n}={\binom {13}{10}}=286$

$\left(\!\!{n+1 \choose k-1}\!\!\right)={n+1+k-1-1 \choose k-1}={\binom {13}{3}}=286$

In mathematics, the (signed and unsigned) Lah numbers are coefficients expressing rising factorials in terms of falling factorials and vice-versa. They were discovered by Ivo Lah in 1954. Explicitly, the unsigned Lah numbers $L(n,k)$ are given by the formula involving the binomial coefficient

$$L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}$$

for $n\geq k\geq 1$, and the signed Lah numbers $L'(n,k)$ are related to them by $L'(n,k)=(-1)^{n}L(n,k)$.

For example, the number of distinct anagrams of the word MISSISSIPPI is:

${\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650$.

A k-permutation of a multiset M is a sequence of length k of elements of M in which each element appears a number of times less than or equal to its multiplicity in M (an element's repetition number).

of M is given by the multinomial coefficient,

${n \choose m_{1},m_{2},\ldots ,m_{l}}={\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{l}!}}={\frac {\left(\sum _{i=1}^{l}{m_{i}}\right)!}{\prod _{i=1}^{l}{m_{i}!}}}.$

---

---

---

تعداد راه‌های توزیع و تقسیم n توپ در k جعبه

N → X :ƒ		تعبیر عمل	کلاس‌بندی هر حالت	توزیع توپ‌ها								تقسیم توپ‌ها
				جعبه‌ها می‌توانند خالی بمانند				هیچ جعبه‌ای خالی نماند				توپ‌های آمیخته (n1 در جعبه اول (n2 در جعبه دوم ... )
				بدون محدودیت		حداکثر یکی	حداکثر rتا	دقیقاْ یکی	حداقل یکی		حداقل rتا
				..	..	..	..	..	..	.	.	مجموع niها=n			مجموع niها=r و r<n	مجموع niها=r و r>n
توپ‌ها	جعبه‌ها			ترتیب مهم نباشد	ترتیب مهم باشد	ترتیب مهم نباشد	ترتیب مهم نباشد	ترتیب مهم نباشد	ترتیب مهم نباشد	ترتیب مهم باشد	ترتیب مهم نباشد	گنجایش هر جعبه دقیقاْ معلوم باشد	گنجایش هر جعبه دقیقاْ معلوم نباشد	گنجایش همه جعبه مساوی باشد
متمایز	متمایز	تابع	f متمایز	$k^{n}$	$k^{\overline {n}}$	$k^{\underline {n}}$		$n!=k!$	$k!\left\{{n \atop k}\right\}$	$(n)^{\underline {k}}(n-1)^{\underline {n-k}}$		مثال	مثال	مثال	ابتدا انتخاب r از n × افراز مورد نظر/ اصل جمع	0
مشابه	متمایز	چندمجموعه	Sn orbits f ∘ Sn	${\binom {k+n-1}{n}}$		${\binom {k}{n}}$		$[n=k]$	${\binom {n-1}{n-k}}$
متمایز	مشابه	افراز مجموعه‌ها	Sk orbits Sk ∘ f	$\sum _{i=0}^{k}\left\{{n \atop i}\right\}$	..	$[n\leq k]$		$[n=k]$	$\left\{{n \atop k}\right\}$	$L(n,k)=$ $\left({n \atop k}\right)(n-1)^{\underline {n-k}}$		مثال	مثال
مشابه	مشابه	افراز عدد صحیح	Sn×Sk orbits Sk ∘ f ∘ Sn	$p_{k}(n+k)$		$[n\leq k]$	$\sum _{i=1}^{k}L(n,i)$	$[n=k]$	$p_{k}(n)$

---

---

---

---

---

---

تعداد راه‌های توزیع و تقسیم n توپ در k جعبه

N → X :ƒ		تعبیر عمل	کلاس‌بندی هر حالت	توزیع توپ‌ها : گنجایش هر جعبه ثابت نباشد								تقسیم توپ‌ها : گنجایش هر جعبه ثابت نباشد
				جعبه‌ها می‌توانند خالی بمانند				هیچ جعبه‌ای خالی نماند				توپ‌های آمیخته (n1 توپ ر جعبه اول (n2 توپ در جعبه دوم ... )
				بدون محدودیت		حداکثر یکی	حداکثر rتا	دقیقاْ یکی	حداقل یکی		حداقل rتا	مجموع niها=n						مجموع niها=r و r<n	مجموع niها=r و r>n	شرط همگروهی‌ها
				..	..	..	..	..	..	.	.	گنجایش هر جعبه دقیقاْ معلوم باشد			گنجایش هر جعبه دقیقاْ معلوم نباشد
توپ‌ها	جعبه‌ها			ترتیب مهم نباشد	ترتیب مهم باشد	ترتیب مهم نباشد	ترتیب مهم نباشد	ترتیب مهم نباشد	ترتیب مهم نباشد	ترتیب مهم باشد	ترتیب مهم نباشد	گنجایش‌های غیر مساوی	برخی از گنجایش‌ها مساوی	گنجایش‌های مساوی	گنجایش‌های غیر مساوی	برخی از گنجایش‌ها مساوی	گنجایش‌های مساوی ${\frac {n}{k}}\in N$
متمایز	متمایز	تابع	f متمایز	$k^{n}$	$k^{\overline {n}}$	$k^{\underline {n}}$		$n!=k!$	$k!\left\{{n \atop k}\right\}$	$(n)^{\underline {k}}(n-1)^{\underline {n-k}}$		${n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}=$ ${\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\cdots \,n_{k}!}}$			${n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}.k!=$ ${\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\cdots \,n_{k}!}}.k!$	${n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}.{\frac {k!}{A!,B!,\ldots }}=$ ${\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\cdots \,n_{k}!}}.{\frac {k!}{A!,B!,\ldots }}$	${n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}.{\frac {1}{k!}}=$ ${\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\cdots \,n_{k}!}}.{\frac {1}{k!}}=$ ${\frac {n!}{({\frac {n}{k}})^{k}}}.{\frac {1}{k!}}$	ابتدا انتخاب r از n × افراز مورد نظر/ اصل جمع	0	مهم نباشد
مشابه	متمایز	چندمجموعه	Sn orbits f ∘ Sn	${\binom {k+n-1}{n}}$		${\binom {k}{n}}$		$[n=k]$	${\binom {n-1}{n-k}}$
متمایز	مشابه	افراز مجموعه‌ها	Sk orbits Sk ∘ f	$\sum _{i=0}^{k}\left\{{n \atop i}\right\}$	..	$[n\leq k]$		$[n=k]$	$\left\{{n \atop k}\right\}$	$L(n,k)=$ $\left({n \atop k}\right)(n-1)^{\underline {n-k}}$		${n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}{\frac {1}{k!}}=$ ${\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\cdots \,n_{k}!}}{\frac {1}{k!}}$			${n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}=$ ${\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\cdots \,n_{k}!}}$	${n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}.{\frac {1!}{A!,B!,\ldots }}=$ ${\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\cdots \,n_{k}!}}.{\frac {1!}{A!,B!,\ldots }}$				مهم باشد
مشابه	مشابه	افراز عدد صحیح	Sn×Sk orbits Sk ∘ f ∘ Sn	$p_{k}(n+k)$		$[n\leq k]$	$\sum _{i=1}^{k}L(n,i)$	$[n=k]$	$p_{k}(n)$

---

---

Example:

$X=\{a,b\},N=\{1,2,3\}{\text{, then }}$

$\left\vert \{(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b),(b,b,a)\}\right\vert =2!\left\{{3 \atop 2}\right\}=2\times 3=6$

$S(n,k)$

$\left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}i^{n}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-i}i^{n}}{(k-i)!i!}}.$

${\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$
${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}$
${\textstyle p_{k}(n)}$

$\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}.$

$(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).$

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}$

---

در ترکیبیات، بسیاری از مسائل شمارشی را می‌توان برحسب "تعداد راه‌های توزیع توپ‌ها در جعبه‌ها" بیان کرد. این مُدل دارای ۴ حالت زیر می‌باشد: الف) تعداد راه‌های توزیع n توپ متمایز در k جعبه متمایز ب) تعداد راه‌های توزیع n توپ یکسان در k جعبه متمایز ج) تعداد راه‌های توزیع n توپ متمایز در k جعبه یکسان د) تعداد راه‌های توزیع n توپ یکسان در k جعبه یکسان

نام‌های دیگر

مدل توزیع اشیاء در ظرف‌ها مدل توزیع گوی‌ها در کیسه‌ها مفهوم یکسان و متمایز بودنویرایش منظور از یکسان بودن توپ‌ها: ۱- فقط توپ‌های قرار گرفته در هر جعبه مهم است. ۲- ارزش و ماهیت توپ‌ها یکسان است.(جابجایی یک توپ از یک جعبه با توپ دیگر از جعبه دیگر، حالت جدیدی را ایجاد نمی‌کند.) منظور از متمایز بودن توپ‌ها: ۱- هم توپ‌های قرار گرفته در هر جعبه مهم است و هم ارزش و ماهیت توپ‌های قرار گرفته در هر جعبه. منظور از یکسان بودن جعبه‌ها: ۱- برای هر توپ فقط همگروهی‌های آن مهم است. ۲- ارزش و ماهیت جعبه‌ها یکسان است. منظور از متمایز بودن جعبه‌ها: ۱- برای هر توپ، هم همگروهی‌های آن مهم است و هم جعبه‌ای که در آن قرار گرفته است. قرارداد: ۱- همواره انسان‌ها را متمایز فرض می‌کنیم. (مگر اینکه ذکر شود "ارزش افراد یکسان است"، و یا "فقط افراد قرار گرفته در هر محل مهم است") ۲-همواره حیوانات و میوه‌ها را یکسان فرض می‌کنیم. ۳- مکان‌های فیزیکی در یک مختصات منحصر به فرد قرار گرفته‌اند و متمایز فرض می‌شوند‌‌.( مگر اینکه ذکر شود "فقط همگروهی‌های آن مهم است و نه محلی که در آن قرار می‌گیرد.") ۴- وقتی صحبت از "تیم‌های بدون نام و نشان" می‌شود، تقسیم‌بندی افراد مطرح است. به عبارت دیگر، می‌خواهیم توپ‌های متمایز را در جعبه‌های یکسان قرار دهیم.

تشکیل جدول

در ترکیبیات، طبقه‌بندی‌های منظمی از مسائل شoمارشی(شامل مسائل کلاسیک شمارش جایگشت‌ها، ترکیب‌ها، مجموعه‌های چندگانه و افراز یک مجموعه) ابداع شده است: روش راه‌های دوازده‌گانه: این طبقه‌بندی منظم از ۱۲ مسئله شمارشی در مورد دو مجموعه محدود است. ایده این طبقه‌بندی به Gian_Carlo_Rota نسبت داده شده است وop نام آن توسط جوئل اسپنسر پیشنهاد شده است. روش راه‌های بیست‌گانه: این طبقه‌بندی، تعمیم روش دوازده‌گانه می‌باشد که توسط کنت پی.بوگارت در کتاب خود "ترکیب از طریق کشف هدایت شده" ارائه شده است.

حالت اول

$n=|N|$ $x=|X|$ N n-set X x-set.

f
متمایز

1...........

$k^{n}$

۲..............

${\textstyle k^{\overline {n}}={\frac {(k+n-1)!}{(k-1)!}}=k(k+1)(k+2)\cdots (k+n-1)}$

$k^{\overline {n}}$

۳........

${\textstyle k^{\underline {n}}=(k)_{n}={\frac {k!}{(k-n)!}}=k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)}$

۴..............

${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$

$n!=k!$

۵

$k!\left\{{n \atop k}\right\}$

۶

$(n)^{\underline {k}}(n-1)^{\underline {n-k}}$

---

حالت دوم

---

حالت سوم

---

حالت چهارم

۶

k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1
10	0	1	511	9330	34105	42525	22827	5880	750	45	1

${\begin{aligned}\mathbb {N} :\ \sum _{i\in \mathbb {A} }2^{i}&=n-k,\\\mathbb {K} :\ \sum _{j\in \mathbb {N} }2^{j}&=\left\lfloor {\dfrac {k-1}{2}}\right\rfloor .\\\end{aligned}}$