Théorème de Nagell-Lutz

En mathématiques, le théorème de Nagell-Lutz est un résultat sur la géométrie diophantienne des courbes elliptiques.

Supposons que la courbe cubique C à coefficients entiers a, b, c définie par

$y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c=f(x)\,$

est non singulière.

Soit P = (x, y) un point rationnel de C, d'ordre fini pour la loi de groupe.

Alors x et y sont entiers. De plus, ou bien y = 0 (dans ce cas P est d'ordre 2), ou bien y² divise le discriminant D du polynôme cubique f,

$D=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}.$

Ce résultat entraîne que la torsion du groupe des points rationnels de la courbe est effectivement calculable.

Ce théorème a été démontré indépendamment par le norvégien Trygve Nagell en 1935 et la française Élisabeth Lutz en 1937.

Article connexe

• Conjecture de torsion

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nagell–Lutz theorem » (voir la liste des auteurs).
• Page 438 de (en) Anthony W. Knapp, « André Weil: A Prologue », Notices of the AMS, vol. 46, n^o 4,‎ 1999, p. 434-439 (lire en ligne, consulté le 26 octobre 2010)