マトロイド系 修正 (#99)

hitonanode · web-flow · web-flow · commit d001d90941ff · 2021-09-05T18:41:59.000+09:00
* Add documents for matroids * bugfix for binary matroid * Bug fix for graphic matroid * combinatorial_opt/matroids/graphic_matroid.hpp * Fix name of graphic matroid * fix documents * [auto-verifier] verify commit 9e97674 Co-authored-by: GitHub <noreply@github.com>
diff --git a/combinatorial_opt/matroid_intersection.hpp b/combinatorial_opt/matroid_intersection.hpp
@@ -4,7 +4,7 @@
 #include <vector>
 
 // CUT begin
-// (Min weight) Matroid intersection solver
+// (Min weight) matroid intersection solver
 // Algorithm based on http://dopal.cs.uec.ac.jp/okamotoy/lect/2015/matroid/
 // Complexity: O(CE^2 + E^3) (C : circuit query, non-weighted)
 template <class M1, class M2, class T = int>
diff --git a/combinatorial_opt/matroid_intersection.md b/combinatorial_opt/matroid_intersection.md
@@ -25,7 +25,12 @@ std::vector<bool> maxindepset = MatroidIntersection(m1, m2, weights);
 ## 問題例
 
 - [Hello 2020 G. Seollal - Codeforces](https://codeforces.com/contest/1284/problem/G) グラフマトロイドと分割マトロイドの交差に帰着される．
-- [Deltix Round, Summer 2021 H. DIY Tree - Codeforces](https://codeforces.com/contest/1556/problem/H) グラフマトロイドと分割マトロイドの最小重み共通独立集合問題に帰着される．
+- [Deltix Round, Summer 2021 H. DIY Tree - Codeforces](https://codeforces.com/contest/1556/problem/H) 少数の頂点に次数制約がついた最小全域木問題．グラフマトロイドと分割マトロイドの最小重み共通独立集合問題に帰着される．
+- [2019 Petrozavodsk Winter Camp, Yandex Cup D. Pick Your Own Nim - Codeforces](https://codeforces.com/gym/102156/problem/D) 二値マトロイドと分割マトロイドの交差．
+- [2128 - Demonstration of Honesty! - URI Online Judge](https://www.urionlinejudge.com.br/judge/en/problems/view/2128) 各辺に色がついている無向グラフで，同色の辺は一度しか使えない全域木構築判定問題．グラフマトロイドと分割マトロイドの交差．このライブラリでは TL が厳しいが，独立性を満たす範囲で乱択のアプローチ等によりある程度 $I$ に要素を追加した状態から増加路アルゴリズムを回すことで定数倍高速化し TL に間に合わせられる．
+- [CodeChef October Challenge 2019: Faulty System](https://www.codechef.com/problems/CNNCT2) グラフマトロイドとグラフマトロイドの交差．
+- [Rainbow Graph – Kattis, NAIPC 2018](https://naipc18.kattis.com/problems/rainbowgraph)
+- [Google Code Jam 2019 Round 3 Datacenter Duplex](https://codingcompetitions.withgoogle.com/codejam/round/0000000000051707/0000000000158f1c)
 
 ## 文献・リンク集
 
@@ -34,3 +39,4 @@ std::vector<bool> maxindepset = MatroidIntersection(m1, m2, weights);
 - [2] C. Brezovec, G. Cornuéjols, and F. Glover, "Two algorithms for weighted matroid intersection,"
   Mathematical Programming, 36(1), 39-53, 1986.
 - [離散最適化基礎論 (2015年度後学期) 組合せ最適化におけるマトロイドの役割](http://dopal.cs.uec.ac.jp/okamotoy/lect/2015/matroid/) とても初学者向き．
+- [[Tutorial] Matroid intersection in simple words - Codeforces](https://codeforces.com/blog/entry/69287) コメント欄に問題例が多い．
diff --git a/combinatorial_opt/matroids/binary_matroid.hpp b/combinatorial_opt/matroids/binary_matroid.hpp
@@ -3,10 +3,11 @@
 #include <vector>
 
 // CUT begin
-// Vector matroid on F2 : linearly independent vectors
+// Binary matroid (vector matroid on F2) : linearly independent vectors
 // VDIM: max. dimension of vector space
 // Verified: SRM526.5 1000 (Used only for linear independence check)
-template <int VDIM> class F2VectorMatroid {
+// Verified: CF102156D 2019 Petrozavodsk Winter Camp, Yandex Cup D. Pick Your Own Nim
+template <int VDIM> class BinaryMatroid {
     using Element = int;
     static void chxormin(std::bitset<VDIM> &l, const std::bitset<VDIM> &r) {
         int i = r._Find_first();
@@ -17,8 +18,8 @@ template <int VDIM> class F2VectorMatroid {
     std::vector<std::vector<std::bitset<VDIM>>> bs;
 
 public:
-    F2VectorMatroid() = default;
-    F2VectorMatroid(const std::vector<std::bitset<VDIM>> &bitmat) : mat(bitmat) {}
+    BinaryMatroid() = default;
+    BinaryMatroid(const std::vector<std::bitset<VDIM>> &bitmat) : mat(bitmat) {}
 
     int size() const { return mat.size(); }
 
@@ -28,26 +29,25 @@ template <int VDIM> class F2VectorMatroid {
             if (I[e]) Iset.push_back(e);
         }
         bs.assign(Iset.size() + 1, {});
-        for (int i = 0; i < int(Iset.size()); i++) {
-            for (int j = i; j < int(Iset.size()); j++) {
+        for (int i = 0; i < int(Iset.size()) + 1; i++) {
+            for (int j = 0; j < int(Iset.size()); j++) {
+                if (i == j) continue;
                 auto v = mat[Iset[j]];
-                for (auto b : bs[i]) chxormin(v, b);
-                bs[i].push_back(v);
+                for (const auto &b : bs[i]) chxormin(v, b);
+                if (v.any()) bs[i].push_back(v);
             }
         }
     }
     std::vector<Element> circuit(const Element &e) const {
         std::bitset<VDIM> v = mat[e];
-        for (auto b : bs[0]) chxormin(v, b);
+        for (const auto &b : bs.back()) chxormin(v, b);
         if (v.any()) return {}; // I + {e} is independent
 
         std::vector<Element> ret{e};
-        v = mat[e];
         for (int i = 0; i < int(Iset.size()); i++) {
-            std::bitset<VDIM> w = v;
-            for (auto b : bs[i + 1]) chxormin(w, b);
+            std::bitset<VDIM> w = mat[e];
+            for (const auto &b : bs[i]) chxormin(w, b);
             if (w.any()) ret.push_back(Iset[i]);
-            chxormin(v, bs[0][i]);
         }
         return ret;
     }
diff --git a/combinatorial_opt/matroids/binary_matroid.md b/combinatorial_opt/matroids/binary_matroid.md
@@ -0,0 +1,22 @@
+---
+title: Binary matroid （二値マトロイド）
+documentation_of: ./binary_matroid.hpp
+---
+
+$\mathbb{F}_2$ 上の $N$ 行 $M$ 列の行列 $A$ によって定義されるマトロイド．集合 $I \subset 2^M$ は，$A$ のうち $I$ に含まれる番号の列のみを抜き出した部分行列が列フルランクのとき，およびその時に限り独立集合である．
+
+## 使用例
+
+```cpp
+bitset<5> v0, v1, v2, v3;
+v0.set(0);
+v1.set(1), v1.set(2);
+v2.set(0), v2.set(1), v2.set(2);
+v3.set(0), v3.set(2);
+vector<bitset<5>> mat{v0, v1, v2, v3};
+BinaryMatroid<5> M(mat);
+
+vector<bool> I{0, 1, 1, 0};
+M.set(I);
+assert((M.circuit(0) == vector<int>{0, 1, 2}));
+```
diff --git a/combinatorial_opt/matroids/graphic_matroid.hpp b/combinatorial_opt/matroids/graphic_matroid.hpp
@@ -3,8 +3,8 @@
 #include <utility>
 #include <vector>
 
-// GraphMatroid: subgraph of undirected graphs, without loops
-class GraphMatroid {
+// GraphicMatroid: subgraph of undirected graphs, without loops
+class GraphicMatroid {
     using Vertex = int;
     using Element = int;
     int M;
@@ -16,24 +16,29 @@ class GraphMatroid {
     std::vector<int> depth, root;
 
 public:
-    GraphMatroid(int V, std::vector<std::pair<Vertex, Vertex>> edges_)
+    GraphicMatroid(int V, const std::vector<std::pair<Vertex, Vertex>> &edges_)
         : M(edges_.size()), V(V), to(V), edges(edges_) {
         for (int e = 0; e < int(edges_.size()); e++) {
-            assert(edges_[e].first < V and edges_[e].second < V);
-            to[edges_[e].first].emplace_back(edges_[e].second, e);
-            to[edges_[e].second].emplace_back(edges_[e].first, e);
+            int u = edges_[e].first, v = edges_[e].second;
+            assert(0 <= u and u < V);
+            assert(0 <= v and v < V);
+            if (u != v) {
+                to[u].emplace_back(v, e);
+                to[v].emplace_back(u, e);
+            }
         }
     }
     int size() const { return M; }
 
+    std::vector<Vertex> que;
     template <class State> void set(State I) {
         assert(int(I.size()) == M);
         backtrack.assign(V, -1);
-        vprev.resize(V);
+        vprev.assign(V, -1);
         depth.assign(V, -1);
-        root.resize(V);
-        static std::vector<Vertex> que(V);
-        int qb, qe;
+        root.assign(V, -1);
+        que.resize(V);
+        int qb = 0, qe = 0;
         for (Vertex i = 0; i < V; i++) {
             if (backtrack[i] >= 0) continue;
             que[qb = 0] = i, qe = 1, depth[i] = 0;
diff --git a/combinatorial_opt/matroids/graphic_matroid.md b/combinatorial_opt/matroids/graphic_matroid.md
@@ -0,0 +1,24 @@
+---
+title: Graphic matroid （グラフマトロイド）
+documentation_of: ./graphic_matroid.hpp
+---
+
+無向グラフ $(V, E)$ によって定義されるマトロイド．辺集合 $E$ の部分集合 $I$ は，無向グラフ上に $I$ に属する辺のみによる閉路が存在しないときに独立．
+
+## 使用例
+
+```cpp
+vector<pair<int, int>> edges;
+edges.emplace_back(0, 1);
+edges.emplace_back(0, 2);
+edges.emplace_back(1, 3);
+edges.emplace_back(1, 4);
+edges.emplace_back(3, 4);
+edges.emplace_back(2, 4);
+
+GraphicMatroid M(5, edges);
+vector<bool> state{1, 1, 1, 1, 0, 0};
+M.set(state);
+vector<int> c1 = M.circuit(4); // [4, 2, 3]
+vector<int> c2 = M.circuit(5); // [5, 3, 1, 0]
+```
diff --git a/combinatorial_opt/matroids/matroid_example.hpp b/combinatorial_opt/matroids/matroid_example.hpp
@@ -6,9 +6,9 @@ struct MatroidExample {
 
     int size() const; // # of elements of set we consider
 
+    // If I is NOT independent or e \in I, undefined.
     // If I is independent and I + {e} is not, return elements of the circuit.
-    // If e \in I, or I + {e} is independent, return empty vector.
-    // If I is NOT independent, undefined.
+    // If I + {e} is also independent, return empty vector.
     template <class State = std::vector<bool>> void set(State I);
     std::vector<Element> circuit(Element e) const;
 };
diff --git a/combinatorial_opt/matroids/matroid_example.md b/combinatorial_opt/matroids/matroid_example.md
@@ -0,0 +1,10 @@
+---
+title: マトロイドクラスのインターフェースの説明
+documentation_of: ./matroid_example.hpp
+---
+
+本リポジトリで一般的なマトロイドに対して適用されるアルゴリズムは，以下のようなメソッドを持つマトロイドクラスを前提に動作する．
+
+- `int size() const` 台集合の要素数を返す関数．
+- `template <class State = std::vector<bool>> void set(const State &I);` 現在の部分集合を独立集合 $I$ で更新する．
+- `std::vector<Element> circuit(Element e) const;` （$I$ が独立で）$I + e$ が従属集合である場合，サーキットを返す． $I + e$ も独立の場合，空ベクトルを返す．マトロイド交差アルゴリズムなど，体感的にはサーキットクエリの重さが時間計算量にダイレクトに影響するため，`set()` による前処理と `circuit()` による取得の両者の効率化が重要である．
diff --git a/combinatorial_opt/matroids/partition_matroid.md b/combinatorial_opt/matroids/partition_matroid.md
@@ -0,0 +1,24 @@
+---
+title: Partition matroid （分割マトロイド）
+documentation_of: ./partition_matroid.hpp
+---
+
+$e = 0, \dots, M - 1$ からなる $M$ 要素の集合 $E$ の分割 $E$ = $E_1 \cup \dots \cup E_K \, (E_i \cap E_j = \varnothing (i \neq j))$と，分割された各部分集合に対する上限要素数 $R_k \ge 0 \, (k = 0, \dots, K - 1)$ によって定められるマトロイド：
+
+$\displaystyle
+\mathcal{I} = \{ I \subset E \mid |I \cup E_k| \le R_k \, (k = 0, \dots, K - 1) \}.
+$
+
+## 使用例
+
+```cpp
+vector<vector<int>> grp{{0, 2, 5}, {1, 3}}; // 登場しない要素があってもよい（それらは制約なしとして扱われる）
+vector<int> lim{2, 1};
+PartitionMatroid M(6, grp, lim);
+
+assert(M.size() == 6);
+vector<bool> I(6);
+I[0] = I[1] = I[2] = 1;
+M.set(I);
+assert((M.circuit(5) == vector<int>{0, 2, 5}));
+```
