La notazione a frecce di Knuth è un tipo di notazione numerica, creata dall'informatico Donald Knuth per scrivere numeri molto grandi che nelle normale notazioni a cifre o esponenziale sarebbero impossibili da scrivere, come il numero di Graham .
La sequenza di iperoperazione è una sequenza di operazioni binarie
H
n
(
a
,
b
)
:
(
N
0
)
3
→
N
0
{\displaystyle H_{n}(a,b)\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}\,\!}
H
n
(
a
,
b
)
=
{
b
+
1
se
n
=
0
a
se
n
=
1
,
b
=
0
0
se
n
=
2
,
b
=
0
1
se
n
≥
3
,
b
=
0
H
n
−
1
(
a
,
H
n
(
a
,
b
−
1
)
)
altrimenti
{\displaystyle H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&{\text{se }}n=0\\a&{\text{se }}n=1,b=0\\0&{\text{se }}n=2,b=0\\1&{\text{se }}n\geq 3,b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{altrimenti}}\end{cases}}\,\!}
(Notare che n = 0, l'operazione binaria essenzialmente si riduce a un'operazione unaria (funzione successiva ) ignorando il primo argomento.)
Per n = 0, 1, 2, 3, questa definizione riproduce le operazioni di base dell'aritmetica della funzione successiva (che è un'operazione unaria), addizione, moltiplicazione e esponenziazione , come:
H
0
(
a
,
b
)
=
b
+
1
,
{\displaystyle H_{0}(a,b)=b+1\,\!,}
H
1
(
a
,
b
)
=
a
+
b
,
{\displaystyle H_{1}(a,b)=a+b\,\!,}
H
2
(
a
,
b
)
=
a
⋅
b
,
{\displaystyle H_{2}(a,b)=a\cdot b\,\!,}
H
3
(
a
,
b
)
=
a
b
,
{\displaystyle H_{3}(a,b)=a^{b}\,\!,}
e per n ≥ 4 estende queste operazioni di base oltre l'esponenziazione in quella che può essere scritta in notazione a frecce di Knuth come
H
4
(
a
,
b
)
=
a
↑↑
b
,
{\displaystyle H_{4}(a,b)=a\uparrow \uparrow {b}\,\!,}
H
5
(
a
,
b
)
=
a
↑↑↑
b
,
{\displaystyle H_{5}(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}\,\!,}
...
H
n
(
a
,
b
)
=
a
↑
n
−
2
b
per
n
≥
3
,
{\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ per }}n\geq 3\,\!,}
...
Questa notazione si compone di un numero iniziale, seguito da un dato numero di frecce verso l'alto, seguita infine da un numero finale.
Il significato delle frecce è il seguente:
una singola freccia verso l'alto rappresenta un elevamento a potenza ;
una doppia freccia verso l'alto (
↑↑
{\displaystyle \uparrow \uparrow }
tetrazione , ovvero una potenza ricorsiva ;
tre frecce (
↑↑↑
{\displaystyle \uparrow \uparrow \uparrow }
tetrazione ricorsiva ;
ogni successiva freccia incrementa la profondità di iterazione. Il risultato è un aumento numerico estremamente elevato per ogni freccia aggiunta.
In termini numerici:
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987}
3
↑↑↑
3
=
3
↑↑
(
3
↑↑
3
)
=
3
↑
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
3
↑↑
3
volte
=
3
↑↑
3
27
=
3
3
⋅
⋅
⋅
3
}
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)={\begin{matrix}&3\underbrace {\uparrow 3\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow \uparrow 3{\text{ volte }}\end{matrix}}=3\uparrow \uparrow 3^{27}=\left.{\begin{matrix}3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}\end{matrix}}\right\}\left.{\begin{matrix}7625597484987\end{matrix}}\right.}
n
OperazioneHn (a , b ))
Definizione
Nomi
Dominio
0
1
+
b
{\displaystyle 1+b}
1
+
1
+
1
+
1
+
⋯
+
1
⏟
b
copie di 1
{\displaystyle {1+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} \atop {b{\mbox{ copie di 1}}}}}}
iper0, incremento, funzione successiva ,
arbitrario
1
a
+
b
{\displaystyle a+b}
a
+
1
+
1
+
1
+
⋯
+
1
⏟
b
copie di 1
{\displaystyle {a+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} \atop {b{\mbox{ copie di 1}}}}}}
iper1, addizione
arbitrario
2
a
⋅
b
{\displaystyle a\cdot b}
a
+
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
copie di
a
{\displaystyle {{\underbrace {a+a+a+\cdots +a} } \atop {b{\mbox{ copie di }}a}}}
iper2, moltiplicazione
arbitrario
3
a
b
{\displaystyle a^{b}}
a
↑
b
{\displaystyle a\uparrow b}
a
⋅
a
⋅
a
⋅
a
⋅
…
⋅
a
⏟
b
copie di
a
{\displaystyle {{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} } \atop {b{\mbox{ copie di }}a}}}
iper3, esponenziazione
b reale, con alcune estensioni multivalore nei numeri complessi
4
b
a
{\displaystyle ^{b}a}
a
↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b}
a
↑
(
a
↑
(
a
↑
(
a
↑
⋯
↑
a
)
)
.
.
.
)
⏟
b
copie di
a
{\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow \cdots \uparrow a))...)} } \atop {b{\mbox{ copie di }}a}}}
iper4, tetrazione
a ≥ 0 o un intero, b un intero ≥ −1[ 1]
5
a
↑↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}
a
↑
3
b
{\displaystyle a\uparrow ^{3}b}
a
↑↑
(
a
↑↑
(
a
↑↑
(
a
↑↑
⋯
↑↑
a
)
)
.
.
.
)
⏟
b
copie di
a
{\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a))...)} } \atop {b{\mbox{ copie di }}a}}}
iper5, pentazione
a , b interi ≥ −1[ 1]
6
a
↑↑↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
a
↑
4
b
{\displaystyle a\uparrow ^{4}b}
a
↑
3
(
a
↑
3
(
a
↑
3
(
a
↑
3
⋯
↑
3
a
)
)
.
.
.
)
⏟
b
copie di
a
{\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow ^{3}(a\uparrow ^{3}(a\uparrow ^{3}(a\uparrow ^{3}\cdots \uparrow ^{3}a))...)} } \atop {b{\mbox{ copie di }}a}}}
iper6, esazione
a , b interi ≥ −1[ 1]
^ a b c Sia x = a [n ](-1). Dalla formula ricorsiva, a [n ]0 = a [n -1](a [n ](-1)) => 1 = a [n -1]x . Una soluzione è x = 0, perché a [n -1]0 = 1 da definizione quando n ≥ 4. Questa soluzione è unica, perché a [n -1]b > 1 per ogni a > 1, b > 0 (prova da ricorsione).
