Progressione aritmetica

In matematica una progressione aritmetica è una successione di numeri tali che la differenza tra ciascun termine (o elemento) della successione e il suo precedente sia una costante. Tale costante viene detta ragione della progressione. Per esempio, la successione 3, 5, 7, 9, 11, ... è una progressione aritmetica di ragione 2.

Una progressione aritmetica

Calcolo

Se il primo termine di una progressione aritmetica è $a_{1}$ e la ragione è $d,$ allora l'$n$-esimo termine della successione è dato da:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d.$

Tale proprietà può essere estesa a un qualsiasi termine della progressione; si avrà quindi che:

$a_{r}=a_{s}+(r-s)d$

La somma dei numeri di una progressione aritmetica finita si chiama serie aritmetica. La somma $S$ dei primi $n$ valori di una progressione aritmetica è uguale a:

$S_{n}={1 \over 2}n(a_{1}+a_{n}),$

dove $a_{1}$ è il primo termine e $a_{n}$ l'$n$-esimo.

Esempio: somma dei primi n interi positivi

Per esempio per trovare la somma dei primi $n$ interi positivi $\sum _{k=1}^{n}k,$ si calcola:

$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}.$

Dimostrazione

Si deve dimostrare che ${\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}.$ Posizioniamo due progressioni aritmetiche uguali a quella data una sopra l'altra e con gli addendi invertiti di posizione. Ponendo $S$ uguale alla somma e andando poi a sommare in verticali gli addendi corrispondenti, abbiamo che:

$S=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$

$S=a_{n}+a_{n-1}+\cdots +a_{2}+a_{1}$

______________________________________________________

$2S=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+\cdots +(a_{n}+a_{1})$

La riga inferiore presenta addendi uguali perché $a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=\cdots =a_{1}+a_{n}$. Ciò è facilmente dimostrabile. Infatti, ricordando che l'$n$-esimo termine è dato da $a_{1}+(n-1)d$, effettuando le seguenti sostituzioni:

• $a_{2}=a_{1}+d$
• $a_{n-1}=a_{n}-d$

e scrivendo

$a_{1}+a_{n}=(a_{1}+d)+(a_{n}-d),$

si dimostra che

$a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}.$

Simili uguaglianze sono dimostrabili per gli altri termini della somma. Ma allora, ricordando che la somma della riga inferiore contiene $n$ termini

$2S=n(a_{1}+a_{n})$

dividendo entrambi i membri dell'equazione per $2$

$S={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}.$

Caratteristiche

Le progressioni aritmetiche forniscono le sequenze di intervalli consecutivi di uguale ampiezza (la ragione); queste sequenze servono per la definizione degli integrali e per le campionature delle funzioni reali di una variabile reale; queste ultime sono utilizzate per la presentazione grafica di queste funzioni in tutti gli odierni sistemi e pacchetti computazionali.

Il teorema di Dirichlet, dimostrato nel 1837 da Peter Gustav Lejeune Dirichlet, afferma che in ogni progressione aritmetica in cui il primo termine $a$ e la ragione $d$ siano interi coprimi (ossia valga MCD$(a,d)=1$) si trovano infiniti numeri primi.

Voci correlate

• Addizione
• Progressione geometrica
• Polinomi calcolanti somme di potenze di progressioni aritmetiche

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Progressione aritmetica, su MathWorld, Wolfram Research.
• Arithmetic series - da Mathworld, su mathworld.wolfram.com.