Kronecker-delta

Det matematiske symbolet Kronecker-delta $\delta _{ij}$, som var innført av Leopold Kronecker, er en funksjon av to variabler. Kalles også Kronecker-symbol og delta-funksjon.

Definisjon

Kronecker-delta er definert som:

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{for }}i=j\\0&{\mbox{for }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

hvor i og j er elementer i en mengde $I$.

Egenskaper

Kronecker-delta er ofte skrevet som

$\delta =\mathrm {1} _{D}:I\times I\to \{0,1\}$,

når den står for den karakteristisk funksjonen $\mathrm {1} _{D}$ i en diagonalmengde.

$D=\{(i,j)\in I\times I:\;i=j\}$.

For kontinuerlige indekser går Kronecker-delta over i Diracs deltafunksjon.

Eksempel på bruk

Innen lineær algebra er symbolet brukt for å uttrykka enhetsmatrisen $n\times n$ som $(\delta _{ij})$ med ${1\leq i,j\leq n}$. En 3x3 enhetsmatrise kan uttrykkes som:

$(\delta _{ij})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

Kronecker-delta kan brukes for å uttrykke skalarproduktet av to orthonormale vektorer:

$e_{1},\dots ,e_{n}$ som $\langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}$.

Innen signalbehandling og reguleringsteknikk er symbolet brukt for å representere en impuls:

$\delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$