Idempotentność: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
AndrzeiBOT (dyskusja | edycje) m Różne zmiany redakcyjne – linki, apostrofy, cudzysłowy itp. |
→Linki zewnętrzne: kat. |
||
(Nie pokazano 18 wersji utworzonych przez 10 użytkowników) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{spis treści}} |
{{spis treści}} |
||
'''Idempotentność'''<ref group=uwaga>Od [[łacina|łac.]] ''idempotent-'': ''idem'', „taki sam, równy” i ''potens'', „mający moc, siłę” od ''potis, pote'', „móc”; spokr. z [[język grecki|gr.]] πόσις ''posis'', „małżonek”, [[sanskryt|sanskr.]] पित ''pati'', „mistrz, małżonek”</ref> – |
'''Idempotentność'''<ref group=uwaga>Od [[łacina|łac.]] ''idempotent-'': ''idem'', „taki sam, równy” i ''potens'', „mający moc, siłę” od ''potis, pote'', „móc”; spokr. z [[język grecki|gr.]] πόσις ''posis'', „małżonek”, [[sanskryt|sanskr.]] पित ''pati'', „mistrz, małżonek”.</ref> – |
||
właściwość pewnych operacji, która pozwala na ich wielokrotne stosowanie bez zmiany wyniku. |
właściwość pewnych operacji, która pozwala na ich wielokrotne stosowanie bez zmiany wyniku. |
||
Pojęcie idempotentności pojawia się wielokrotnie w [[algebra|algebrze]] (w szczególności w teorii [[rzut (algebra liniowa)|rzutów]] i [[domknięcie (matematyka)|operatorów domknięcia]]) oraz [[programowanie funkcyjne|programowaniu funkcyjnym]] (w którym ma ono związek z [[przejrzystość referencyjna|przejrzystością referencyjną]]). |
Pojęcie idempotentności pojawia się wielokrotnie w [[algebra|algebrze]] (w szczególności w teorii [[rzut (algebra liniowa)|rzutów]] i [[domknięcie (matematyka)|operatorów domknięcia]]) oraz [[programowanie funkcyjne|programowaniu funkcyjnym]] (w którym ma ono związek z [[przejrzystość referencyjna|przejrzystością referencyjną]]). |
||
Termin wprowadził [[Benjamin Peirce]] |
Termin wprowadził [[Benjamin Peirce]]{{odn|Polcino|Sehgal|2002|s=127}} w kontekście elementów algebry, które są niezmiennicze ze względu na potęgowanie. |
||
Istnieje kilka znaczeń idempotentności w zależności od pojęcia, do którego się odnoszą: |
Istnieje kilka znaczeń idempotentności w zależności od pojęcia, do którego się odnoszą: |
||
* [[Działanie jednoargumentowe]] (lub [[funkcja]]) jest ''idempotentne'', jeżeli zastosowana dwukrotnie daje ten sam wynik, co zastosowana jednokrotnie. Przykładowo funkcja [[wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]] jest idempotentna jako funkcja zbioru [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] w siebie: <math> |
* [[Działanie jednoargumentowe]] (lub [[funkcja]]) jest ''idempotentne'', jeżeli zastosowana dwukrotnie daje ten sam wynik, co zastosowana jednokrotnie. Przykładowo funkcja [[wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]] jest idempotentna jako funkcja zbioru [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] w siebie: <math>||x|| = |x|.</math> |
||
* [[Działanie dwuargumentowe]] jest ''idempotentne'', gdy zastosowane do dwóch równych wartości daje ją w wyniku. Przykładem może być działanie [[Funkcje minimum i maksimum|brania maksimum]] dwóch wartości, które jest idempotentne: <math>\max(x, x) = x.</math> |
* [[Działanie dwuargumentowe]] jest ''idempotentne'', gdy zastosowane do dwóch równych wartości daje ją w wyniku. Przykładem może być działanie [[Funkcje minimum i maksimum|brania maksimum]] dwóch wartości, które jest idempotentne: <math>\max(x, x) = x.</math> |
||
* Dla danego działania dwuargumentowego ''elementem idempotentnym'', lub krótko ''idempotentem'', względem tego działania jest wartość, dla której dana na obu argumentach zostaje zwrócona jako wynik. Przykładem jest liczba <math>1</math> będąca idempotentem [[mnożenie|mnożenia]]: <math>1 = 1 \cdot 1.</math> |
* Dla danego działania dwuargumentowego ''elementem idempotentnym'', lub krótko ''idempotentem'', względem tego działania jest wartość, dla której dana na obu argumentach zostaje zwrócona jako wynik<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3913844 | tytuł = idempotent | data dostępu = 2021-10-08}}</ref>. Przykładem jest liczba <math>1</math> będąca idempotentem [[mnożenie|mnożenia]]: <math>1 = 1 \cdot 1.</math> |
||
== Definicje == |
== Definicje == |
||
Linia 26: | Linia 26: | ||
funkcji idempotentnych, gdzie |
funkcji idempotentnych, gdzie |
||
: <math>{n \choose k} k^{n-k}</math> |
: <math>{n \choose k} k^{n-k}</math> |
||
jest liczbą funkcji idempotentnych o dokładnie <math>k</math> punktach stałych. Początkowymi wyrazami [[ciąg (matematyka)|ciągu]] liczby funkcji idempotentnych danego przez powyższą sumę są: 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393, |
jest liczbą funkcji idempotentnych o dokładnie <math>k</math> punktach stałych. Początkowymi wyrazami [[ciąg (matematyka)|ciągu]] liczby funkcji idempotentnych danego przez powyższą sumę są: 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393,…<ref>{{OEIS|id=A000248}}</ref> |
||
=== Działania dwuargumentowe === |
=== Działania dwuargumentowe === |
||
Linia 33: | Linia 33: | ||
: <math>x \star x = x.</math> |
: <math>x \star x = x.</math> |
||
Przykładami działań idempotentnych mogą być działania [[suma zbiorów|sumy zbiorów]] i [[ |
Przykładami działań idempotentnych mogą być działania [[suma zbiorów|sumy zbiorów]] i [[Część wspólna|iloczynu zbiorów]], a także działania [[koniunkcja (logika)|koniunkcji logicznej]] i [[Dysjunkcja (Sheffera)|dysjunkcji logicznej]] oraz, w ogólności, działania [[Kresy dolny i górny|kresu dolnego i górnego]] w [[Krata (matematyka)|kratach]]. |
||
Element <math>x \in X</math> nazywa się '''idempotentnym''' lub '''idempotentem''', jeżeli zachodzi dla niego równość |
Element <math>x \in X</math> nazywa się '''idempotentnym''' lub '''idempotentem''', jeżeli zachodzi dla niego równość |
||
Linia 42: | Linia 42: | ||
=== Powiązania === |
=== Powiązania === |
||
Powyższe trzy pojęcia można przedstawić następująco: |
Powyższe trzy pojęcia można przedstawić następująco: |
||
* Twierdzenie, iż działanie dwuargumentowe <math>\star</math> na zbiorze <math>X</math> jest idempotentne jest równoważne żądaniu, by każdy element zbioru <math>S</math> był |
* Twierdzenie, iż działanie dwuargumentowe <math>\star</math> na zbiorze <math>X</math> jest idempotentne jest równoważne żądaniu, by każdy element zbioru <math>S</math> był idempotentny względem <math>\star.</math> |
||
* Własność definiująca idempotentności jednoargumentowej można zapisać za pomocą operacji [[złożenie funkcji|złożenia funkcji]] <math>\circ</math> w następujący sposób: <math>f \circ f = f.</math> W ten sposób twierdzenie, że <math>f</math> jest jednoargumentowym działaniem idempotentnym na <math>S</math> jest równoważne stwierdzeniu, że <math>f</math> jest elementem idempotentnym działania <math>\circ</math> na zbiorze funkcji <math>X \to X.</math> |
* Własność definiująca idempotentności jednoargumentowej można zapisać za pomocą operacji [[złożenie funkcji|złożenia funkcji]] <math>\circ</math> w następujący sposób: <math>f \circ f = f.</math> W ten sposób twierdzenie, że <math>f</math> jest jednoargumentowym działaniem idempotentnym na <math>S</math> jest równoważne stwierdzeniu, że <math>f</math> jest elementem idempotentnym działania <math>\circ</math> na zbiorze funkcji <math>X \to X.</math> |
||
Linia 48: | Linia 48: | ||
Jak wspomniano wyżej, przekształcenia tożsamościowe i stałe są idempotentne. Idempotentne są również funkcje [[wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]] zmiennej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] i [[liczby zespolone|zespolonej]] oraz funkcja [[podłoga i sufit|podłogi i sufitu]] zmiennej rzeczywistej. |
Jak wspomniano wyżej, przekształcenia tożsamościowe i stałe są idempotentne. Idempotentne są również funkcje [[wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]] zmiennej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] i [[liczby zespolone|zespolonej]] oraz funkcja [[podłoga i sufit|podłogi i sufitu]] zmiennej rzeczywistej. |
||
Funkcja przypisująca każdemu podzbiorowi [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] <math>X</math> jej [[domknięcie (topologia)|domknięcie]] jest idempotentna na [[zbiór potęgowy|zbiorze potęgowym]] zbioru <math>X.</math> Jest to przykład [[domknięcie (matematyka)|operatora domknięcia]]; własność idempotentności cechuje wszystkie operatory domknięcia. Idempotentne są również działania [[wnętrze (matematyka)|wnętrza]] oraz [[ |
Funkcja przypisująca każdemu podzbiorowi [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] <math>X</math> jej [[domknięcie (topologia)|domknięcie]] jest idempotentna na [[zbiór potęgowy|zbiorze potęgowym]] zbioru <math>X.</math> Jest to przykład [[domknięcie (matematyka)|operatora domknięcia]]; własność idempotentności cechuje wszystkie operatory domknięcia. Idempotentne są również działania [[wnętrze (matematyka)|wnętrza]] oraz [[K-przestrzeń|''k''-rozszerzenia]]. |
||
=== Języki formalne === |
=== Języki formalne === |
||
Operatory [[ |
Operatory [[Domknięcie Kleene’ego|gwiazdka i plus Kleene’ego]] wykorzystywane w [[język formalny|językach formalnych]] do wyrażania powtórzeń są idempotentne. |
||
=== Idempotentne elementy pierścienia === |
=== Idempotentne elementy pierścienia === |
||
{{Zobacz też|pierścień (matematyka)|o1=pierścień}} |
{{Zobacz też|pierścień (matematyka)|o1=pierścień}} |
||
Element idempotentny pierścienia to, z definicji, element idempotentny względem mnożenia w pierścieniu |
Element idempotentny pierścienia to, z definicji, element idempotentny względem mnożenia w pierścieniu{{odn|Hazewinkel|Gubareni|Kirichenko|2004|s=2}}. Innymi słowy element <math>r</math> jest idempotentny, gdy <math>r^2 = r.</math> W zbiorze idempotentów pierścienia można zadać [[Częściowy porządek|porządek częściowy]] w następujący sposób: jeśli <math>a</math> i <math>b</math> są idempotentami, to |
||
: <math>a \leqslant b \Leftrightarrow ab = ba = a.</math> |
: <math>a \leqslant b \Leftrightarrow ab = ba = a.</math> |
||
W porządku tym <math>0</math> jest najmniejszym, a <math>1</math> – największym idempotentem. |
W porządku tym <math>0</math> jest najmniejszym, a <math>1</math> – największym idempotentem. |
||
Linia 61: | Linia 61: | ||
Dwa idempotenty <math>a, b</math> nazywa się '''ortogonalnymi''' i oznacza <math>a \perp b,</math> jeżeli <math>ab = ba = 0.</math> Wówczas <math>a + b</math> również jest idempotentny i zachodzi <math>a \leqslant a + b</math> oraz <math>b \leqslant a + b.</math> |
Dwa idempotenty <math>a, b</math> nazywa się '''ortogonalnymi''' i oznacza <math>a \perp b,</math> jeżeli <math>ab = ba = 0.</math> Wówczas <math>a + b</math> również jest idempotentny i zachodzi <math>a \leqslant a + b</math> oraz <math>b \leqslant a + b.</math> |
||
Jeśli <math>a</math> jest idempotentem pierścienia <math>R,</math> to |
Jeśli <math>a</math> jest idempotentem pierścienia <math>R,</math> to |
||
* jest nim także <math>b = 1 - a;</math> wówczas <math>a \perp b;</math> |
* jest nim także <math>b = 1 - a;</math> wówczas <math>a \perp b;</math> |
||
* pierścień <math>aRa</math> również jest [[pierścień z jedynką|pierścieniem z jedynką]] <math>a;</math> |
* pierścień <math>aRa</math> również jest [[pierścień z jedynką|pierścieniem z jedynką]] <math>a;</math> |
||
Linia 67: | Linia 67: | ||
Idempotenty centralne są blisko związane z rozkładami <math>R</math> na [[suma prosta modułów|sumy proste]] pierścieni. Jeśli |
Idempotenty centralne są blisko związane z rozkładami <math>R</math> na [[suma prosta modułów|sumy proste]] pierścieni. Jeśli |
||
: <math>R = R_1 \oplus \ |
: <math>R = R_1 \oplus \ldots \oplus R_n,</math> |
||
to jedynki pierścieni <math>R_i</math> są parami ortogonalnymi idempotentami centralnymi w <math>R,</math> których suma jest równa <math>1.</math> Odwrotnie, dla danych parami ortogonalnych idempotentów centralnych <math>a_1, \dots, a_n \in R</math> sumujących się do <math>1</math> zachodzi |
to jedynki pierścieni <math>R_i</math> są parami ortogonalnymi idempotentami centralnymi w <math>R,</math> których suma jest równa <math>1.</math> Odwrotnie, dla danych parami ortogonalnych idempotentów centralnych <math>a_1, \dots, a_n \in R</math> sumujących się do <math>1</math> zachodzi |
||
: <math>R = Ra_1 \oplus \ |
: <math>R = Ra_1 \oplus \ldots \oplus Ra_n.</math> |
||
W szczególności idempotent centralny <math>a \in R</math> daje więc rozkład <math>R</math> na sumę prostą <math>Ra \oplus R(1 - a).</math> |
W szczególności idempotent centralny <math>a \in R</math> daje więc rozkład <math>R</math> na sumę prostą <math>Ra \oplus R(1 - a).</math> |
||
Linia 89: | Linia 89: | ||
Programista [[aplikacja internetowa|aplikacji internetowych]] powinien zadbać o idempotentność wykonywanych przez serwer operacji, nie dopuszczając np. do kolejnego zakupu identycznego wyrobu w sklepie internetowym po odświeżeniu strony. Jedną z metod jest wprowadzenie [[token synchronizujący|tokenu synchronizującego]], który jest inkrementowany przy każdym zapytaniu od klienta i np. jako [[HTTP cookie|ciasteczko]] przesyłany wraz z odpowiedzią do klienta. Jeśli token otrzymany od klienta jest różny od tokena zapamiętanego na serwerze, oznacza to że nastąpiło rozsynchronizowanie, np. klient odświeżył stronę. |
Programista [[aplikacja internetowa|aplikacji internetowych]] powinien zadbać o idempotentność wykonywanych przez serwer operacji, nie dopuszczając np. do kolejnego zakupu identycznego wyrobu w sklepie internetowym po odświeżeniu strony. Jedną z metod jest wprowadzenie [[token synchronizujący|tokenu synchronizującego]], który jest inkrementowany przy każdym zapytaniu od klienta i np. jako [[HTTP cookie|ciasteczko]] przesyłany wraz z odpowiedzią do klienta. Jeśli token otrzymany od klienta jest różny od tokena zapamiętanego na serwerze, oznacza to że nastąpiło rozsynchronizowanie, np. klient odświeżył stronę. |
||
Standardowo uważa się metody [[GET (metoda)|GET]] i [[HEAD (metoda)|HEAD]] protokołu [[HTTP]] za idempotentne, więc [[przeglądarka internetowa|przeglądarki internetowe]] nie wyświetlają żadnego ostrzeżenia w przypadku odświeżania strony za pomocą metody GET. Stąd poleca się implementację operacji zmieniających stan sesji klienta za pomocą metody [[POST (metoda)|POST]]. |
Standardowo uważa się metody [[GET (metoda)|GET]] i [[HEAD (metoda)|HEAD]] protokołu [[Hypertext Transfer Protocol|HTTP]] za idempotentne, więc [[przeglądarka internetowa|przeglądarki internetowe]] nie wyświetlają żadnego ostrzeżenia w przypadku odświeżania strony za pomocą metody GET. Stąd poleca się implementację operacji zmieniających stan sesji klienta za pomocą metody [[POST (metoda)|POST]]. |
||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
||
⚫ | |||
* [[element nilpotentny]] |
* [[element nilpotentny]] |
||
⚫ | |||
== Uwagi == |
|||
{{ |
{{Uwagi}} |
||
== Przypisy == |
|||
{{Przypisy}} |
{{Przypisy}} |
||
== Bibliografia == |
== Bibliografia == |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Literatura dodatkowa == |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
* Peirce, B.. ''Linear Associative Algebra''. 1870. |
* Peirce, B.. ''Linear Associative Algebra''. 1870. |
||
⚫ | |||
* Lang, Serge (1993), Algebra (wyd. III), Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., {{ISBN|978-0-201-55540-0}}, s. 443 |
* Lang, Serge (1993), Algebra (wyd. III), Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., {{ISBN|978-0-201-55540-0}}, s. 443 |
||
⚫ | |||
== Linki zewnętrzne == |
|||
[[Kategoria:Relacje]] |
|||
⚫ | |||
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Idempotent Idempotent]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10]. |
|||
{{Działania dwuargumentowe}} |
|||
{{Funkcje matematyczne}} |
|||
{{Kontrola autorytatywna}} |
|||
[[Kategoria:Własności relacji dwuczłonowych]] |
|||
[[Kategoria:Informatyka]] |
[[Kategoria:Informatyka]] |
||
[[Kategoria:Algebraiczne własności elementów]] |
Aktualna wersja na dzień 18:22, 24 sty 2024
Idempotentność[a] – właściwość pewnych operacji, która pozwala na ich wielokrotne stosowanie bez zmiany wyniku.
Pojęcie idempotentności pojawia się wielokrotnie w algebrze (w szczególności w teorii rzutów i operatorów domknięcia) oraz programowaniu funkcyjnym (w którym ma ono związek z przejrzystością referencyjną).
Termin wprowadził Benjamin Peirce[1] w kontekście elementów algebry, które są niezmiennicze ze względu na potęgowanie.
Istnieje kilka znaczeń idempotentności w zależności od pojęcia, do którego się odnoszą:
- Działanie jednoargumentowe (lub funkcja) jest idempotentne, jeżeli zastosowana dwukrotnie daje ten sam wynik, co zastosowana jednokrotnie. Przykładowo funkcja wartości bezwzględnej jest idempotentna jako funkcja zbioru liczb rzeczywistych w siebie:
- Działanie dwuargumentowe jest idempotentne, gdy zastosowane do dwóch równych wartości daje ją w wyniku. Przykładem może być działanie brania maksimum dwóch wartości, które jest idempotentne:
- Dla danego działania dwuargumentowego elementem idempotentnym, lub krótko idempotentem, względem tego działania jest wartość, dla której dana na obu argumentach zostaje zwrócona jako wynik[2]. Przykładem jest liczba będąca idempotentem mnożenia:
Definicje
[edytuj | edytuj kod]Działania jednoargumentowe
[edytuj | edytuj kod]Działanie jednoargumentowe tzn. funkcję danego zbioru w siebie, nazywa się idempotentną, jeśli dla każdego zachodzi
W szczególności funkcja tożsamościowa określona wzorem jest idempotentna, podobnie jak funkcja stała gdzie dana wzorem
Ważną klasą funkcji idempotentych są rzuty w przestrzeni liniowej. Przykładowo rzutem jest funkcja dana wzorem która rzutuje dowolny punkt przestrzeni trójwymiarowej na punkt płaszczyzny gdyż trzecia współrzędna jest równa
Działanie jednoargumentowe jest idempotentne wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowuje wszystkie elementy zbioru na punkty stałe. Dla zbioru -elementowego istnieje
funkcji idempotentnych, gdzie
jest liczbą funkcji idempotentnych o dokładnie punktach stałych. Początkowymi wyrazami ciągu liczby funkcji idempotentnych danego przez powyższą sumę są: 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393,…[3]
Działania dwuargumentowe
[edytuj | edytuj kod]Dwuargumentowe działanie na zbiorze nazywa się idempotentnym, jeżeli dla wszystkich zachodzi
Przykładami działań idempotentnych mogą być działania sumy zbiorów i iloczynu zbiorów, a także działania koniunkcji logicznej i dysjunkcji logicznej oraz, w ogólności, działania kresu dolnego i górnego w kratach.
Element nazywa się idempotentnym lub idempotentem, jeżeli zachodzi dla niego równość
W szczególności idempotentem działania jest jego element neutralny.
Powiązania
[edytuj | edytuj kod]Powyższe trzy pojęcia można przedstawić następująco:
- Twierdzenie, iż działanie dwuargumentowe na zbiorze jest idempotentne jest równoważne żądaniu, by każdy element zbioru był idempotentny względem
- Własność definiująca idempotentności jednoargumentowej można zapisać za pomocą operacji złożenia funkcji w następujący sposób: W ten sposób twierdzenie, że jest jednoargumentowym działaniem idempotentnym na jest równoważne stwierdzeniu, że jest elementem idempotentnym działania na zbiorze funkcji
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Jak wspomniano wyżej, przekształcenia tożsamościowe i stałe są idempotentne. Idempotentne są również funkcje wartości bezwzględnej zmiennej rzeczywistej i zespolonej oraz funkcja podłogi i sufitu zmiennej rzeczywistej.
Funkcja przypisująca każdemu podzbiorowi przestrzeni topologicznej jej domknięcie jest idempotentna na zbiorze potęgowym zbioru Jest to przykład operatora domknięcia; własność idempotentności cechuje wszystkie operatory domknięcia. Idempotentne są również działania wnętrza oraz k-rozszerzenia.
Języki formalne
[edytuj | edytuj kod]Operatory gwiazdka i plus Kleene’ego wykorzystywane w językach formalnych do wyrażania powtórzeń są idempotentne.
Idempotentne elementy pierścienia
[edytuj | edytuj kod]Element idempotentny pierścienia to, z definicji, element idempotentny względem mnożenia w pierścieniu[4]. Innymi słowy element jest idempotentny, gdy W zbiorze idempotentów pierścienia można zadać porządek częściowy w następujący sposób: jeśli i są idempotentami, to
W porządku tym jest najmniejszym, a – największym idempotentem.
Dwa idempotenty nazywa się ortogonalnymi i oznacza jeżeli Wówczas również jest idempotentny i zachodzi oraz
Jeśli jest idempotentem pierścienia to
- jest nim także wówczas
- pierścień również jest pierścieniem z jedynką
- nazywa się go centralnym, o ile tylko dla wszystkich zachodzi wówczas jest pierścieniem z jedynką
Idempotenty centralne są blisko związane z rozkładami na sumy proste pierścieni. Jeśli
to jedynki pierścieni są parami ortogonalnymi idempotentami centralnymi w których suma jest równa Odwrotnie, dla danych parami ortogonalnych idempotentów centralnych sumujących się do zachodzi
W szczególności idempotent centralny daje więc rozkład na sumę prostą
Dowolny idempotent różny od i jest dzielnikiem zera, gdyż W związku z tym dziedziny całkowitości i pierścienie z dzieleniem nie mają takich idempotentów. Pierścienie lokalne również nie mają tego rodzaju idempotentów, ale z innego powodu: jedynym idempotentem zawartym w radykale Jacobsona pierścienia jest Istnieje katenoida idempotentów w pierścieniu kokwaternionów.
Pierścienie, których wszystkie elementy są idempotentne nazywa się pierścieniami Boole’a. Można pokazać, że w każdym takim pierścieniu mnożenie jest przemienne, a każdy element swoim elementem przeciwnym.
Związek z inwolucjami
[edytuj | edytuj kod]Jeśli jest idempotentem, to jest inwolucją.
Jeśli jest idempotentem, to jest idempotentem i są one swoimi odwrotnościami: stąd jeśli jest odwracalna w danym pierścieniu, to idempotenty i inwolucje są pojęciami równoważnymi.
Więcej, jeżeli jest inwolucją, to i są idempotentami ortogonalnymi odpowiadającymi i
Informatyka
[edytuj | edytuj kod]W informatyce idempotentność jest własnością operacji pozwalającą na jej wielokrotne powtarzanie bez zmiany wyniku lub powodowania błędu. Taką cechę ma np. operacja czytania.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Programista aplikacji internetowych powinien zadbać o idempotentność wykonywanych przez serwer operacji, nie dopuszczając np. do kolejnego zakupu identycznego wyrobu w sklepie internetowym po odświeżeniu strony. Jedną z metod jest wprowadzenie tokenu synchronizującego, który jest inkrementowany przy każdym zapytaniu od klienta i np. jako ciasteczko przesyłany wraz z odpowiedzią do klienta. Jeśli token otrzymany od klienta jest różny od tokena zapamiętanego na serwerze, oznacza to że nastąpiło rozsynchronizowanie, np. klient odświeżył stronę.
Standardowo uważa się metody GET i HEAD protokołu HTTP za idempotentne, więc przeglądarki internetowe nie wyświetlają żadnego ostrzeżenia w przypadku odświeżania strony za pomocą metody GET. Stąd poleca się implementację operacji zmieniających stan sesji klienta za pomocą metody POST.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Uwagi
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Polcino i Sehgal 2002 ↓, s. 127.
- ↑ idempotent, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-08] .
- ↑ (ciąg A000248 w OEIS)
- ↑ Hazewinkel, Gubareni i Kirichenko 2004 ↓, s. 2.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- César Polcino Milies, Sudarshan K Sehgal, An introduction to group rings, tom 1, Springer, 2002 (Algebras and applications), ISBN 978-1-4020-0238-0 .
- Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni , Vladimir V. Kirichenko , Algebras, rings and modules, Tom 1, Springer, 2004, ISBN 1-4020-2690-0 .
Literatura dodatkowa
[edytuj | edytuj kod]- Bryan Basham, Kathy Sierra, Bert Bates: Head First Servlets & JSP. Helion, 2005. ISBN 83-7361-810-4.
- Deepak Alur, John Crupi, Dan Malks: Core J2EE Wzorce projektowe. Wyd. 2. Helion, 2004. ISBN 83-7361-344-7.
- Peirce, B.. Linear Associative Algebra. 1870.
- Lang, Serge (1993), Algebra (wyd. III), Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., ISBN 978-0-201-55540-0, s. 443
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Idempotent, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2009-02-09] (ang.).
- Idempotent (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].