Em matemática, um espaço vetorial normado ou simplesmente espaço normado é um espaço vetorial munido de uma norma. A norma é a generalização do conceito de "tamanho" de vetor, sempre presente canonicamente no caso do espaço tridimensional .
Seja um espaço vetorial real ou complexo. Uma função é uma norma se ela satisfaz as propriedades a seguir.[4]
para todo e (Positividade e não degenerescência);
para todos escalares e (Homogeneidade);
para todos (Desigualdade triangular).
Nesse caso, é dito ser um espaço normado. Pelas propriedades acima, é possível ver que
define uma métrica em , fazendo de todo espaço normado, em particular, um espaço métrico. Espaços normados que são completos, na métrica induzida pela norma, são chamados de espaços de Banach.[4]
As operações de soma e produto por escalar são contínuas em qualquer espaço normado. Logo, espaços normados são casos particulares de espaços vetoriais topológicos.[4]
O conjunto dos operadores limitados , geralmente denotado , é um subespaço do conjunto dos operadores lineares e a norma de operador é de fato uma norma em . Caso seja um espaço de Banach, também é um espaço de Banach.[5] Em particular, o dual topológico de qualquer espaço normado é completo.
As seguintes afirmações a respeito do operador linear são equivalentes[4][5]:
leva conjuntos limitados (em ) em conjuntos limitados (em ).
Importante frisar que a definição de limitação como acima é diferente da vista em cursos de cálculo e na teoria de espaços métricos, onde uma função limitada é aquela cuja imagem é um subconjunto limitado do contradomínio.
é dito ser um isomorfismo entre espaços normados, uma vez que ele preserva tanto a estrutura de espaço vetorial quanto a norma. Nesse caso, e são isomorfos.
Além disso, as sequências de Cauchy em e são as mesmas.[5] Note que as desigualdades acima mostram que duas normas são equivalentes se, e só se, a identidade
é um isomorfismo entre espaços normados.
Num espaço de dimensão finita, quaisquer duas normas são equivalentes.[5]
Enquanto é trivial definir uma norma num espaço vetorial de dimensão finita (todo espaço de dimensão finita é isomorfo a ou ), a construção de uma norma para o caso de um espaço vetorial de dimensão infinita não é trivial. Entretanto, sempre é possível a definição de uma norma em qualquer espaço vetorial.
Uma das consequências do lema de Zorn é que todo espaço vetorial sobre possui uma base (de Hamel) . Por definição, isso significa que todo vetor pode ser decomposto unicamente por
,
onde é finito e . Define-se então
Tal função é de fato uma norma em , chamada de norma canônica.
Referências
↑Banach, Stefan (1922). «Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales». Fundamenta Math
↑Hahn, Hans (1922). «Über Folgen linearer Operationen». Monatshefte Math. Phys.
↑Wiener, Norbert (1922). «Limit in terms of continuous transformation». Bull. Soc. Math. France