Tabela-verdade
Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto.
As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros nomes da década de 1880, e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatus Logico-Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas da verdade.
Como construir uma tabela-verdade
editarUma tabela-verdade consiste em:
- uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjunto de subfórmulas:
{ ¬((A∧B)→C) , (A∧B)→C , A∧B , A , B , C} - L linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos;
o número destas linhas é L = nt , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do cálculo proposicional clássico) e t o número de termos que a fórmula contém; assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).
Para proposições com mais de três termos, basta seguir o mesmo raciocínio apresentado nas imagens acima.
Tabelas das principais operações do cálculo proposicional
editarNegação (~)
editar| A | ~A |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice-versa.
Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =NÃO(C1;C2)
Conjunção (∧)
editar| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
A conjunção é verdadeira se e somente se ambos os operandos são verdadeiros.
Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =E(C1;C2)
Disjunção (v)
editar| A | B | AvB |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos.
Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =OU(C1;C2)
Disfunção (f)
editar| A | B | AfB |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
A disfunção é necessariamente falsa, independente dos operandos.
Condicional (se... então) [implicação]
editar| A | B | A→B |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
A condicional é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso.
Bicondicional (se e somente se) [equivalência]
editar| A | B | A↔B |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
A bicondicional é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros. Trata-se de um detetor de igualdade.
Disjunção exclusiva (OU EXCLUSIVO... ou XOR)
editar| A | B | A∨B |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
A disjunção exclusiva é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro. Trata-se de um detetor de desigualdades.
Adaga de Quine (NOR)
editar| A | B | A∨B | A↓B |
|---|---|---|---|
| V | V | V | F |
| V | F | V | F |
| F | V | V | F |
| F | F | F | V |
A Adaga de Quine (negação da disjunção) é verdadeira se e somente se os operandos são falsos.
Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos
editarVerifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiras. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido.
Alguns argumentos válidos
editar- Modus ponens
| A | B | A→B |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
- Modus tollens
| A | B | ¬A | ¬B | A→B |
|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | V | V |
- Silogismo hipotético
| A | B | C | A→B | B→C | A→C |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F | F |
| V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | F | V | F |
| F | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F | V |
| F | F | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V |
Algumas falácias
editar- Afirmação do consequente
- Se A, então B. (A→B)
- B.
- Logo, A.
| A | B | A→B |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
- Comutação dos condicionais
- A implica B. (A→B)
- Logo, B implica A. (B→A)
| A | B | A→B | B→A |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | V | F |
| F | F | V | V |
Como usar tabelas para verificar a equivalência de fórmulas
editar- A∧B ≡ ¬(B→¬A) ≡ ¬(¬A∨¬B) ≡ ¬A↓¬B
| A | B | ¬A | ¬B | A∧B | B→¬A | ¬(B→¬A) | ¬A∨¬B | ¬(¬A∨¬B) | ¬A↓¬B |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | V | F | V | F | V | F | F |
| F | V | V | F | F | V | F | V | F | F |
| F | F | V | V | F | V | F | V | F | F |
- A→B ≡ ¬(A∧¬B) ≡ ¬A∨B ≡ ¬(¬A↓B)
| A | B | ¬A | ¬B | A→B | A∧¬B | ¬(A∧¬B) | ¬A∨B | ¬A↓B | ¬(¬A↓B) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | V | F | V | V | F | V |
| V | F | F | V | F | V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | V | F | V | V | F | V |
| F | F | V | V | V | F | V | V | F | V |
- A∨B ≡ ¬(¬A∧¬B) ≡ ¬A→B ≡ ¬(A↓B)
| A | B | ¬A | ¬B | ¬A∧¬B | ¬(¬A∧¬B) | ¬A→B | A↓B | ¬(A↓B) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | F | V | V | F | V |
| V | F | F | V | F | V | V | F | V |
| F | V | V | F | F | V | V | F | V |
| F | F | V | V | V | F | F | V | F |
Resumo das tabelas das operações do cálculo proposicional
editar| n | Operação 1 | Operação 2 | nome | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | V | V | F | F | |||
| B | V | F | V | F | |||
| 0 | A∧¬A | B∧¬B | F | F | F | F | Contradição |
| 1 | A↓B | ¬(A∨B) | F | F | F | V | p nor q |
| 2 | ¬(B→A) | B∧¬A | F | F | V | F | Negação da condicional |
| 3 | ¬A | F | F | V | V | not A | |
| 4 | ¬(A→B) | A∧¬B | F | V | F | F | Negação da condicional |
| 5 | ¬B | F | V | F | V | not B | |
| 6 | A∨B | A B | F | V | V | F | xor |
| 7 | ¬(A∧B) | ¬(B∧A) | F | V | V | V | nand |
| 8 | A∧B | B∧A | V | F | F | F | Conjunção |
| 9 | A↔B | B↔A | V | F | F | V | Bicondicional |
| 10 | B | V | F | V | F | B | |
| 11 | A→B | ¬A∨B | V | F | V | V | Condicional |
| 12 | A | V | V | F | F | A | |
| 13 | B→A | A∨¬B | V | V | F | V | Condicional |
| 14 | A∨B | B∨A | V | V | V | F | Disjunção |
| 15 | A∨¬A | B∨¬B | V | V | V | V | Tautologia |
Ver também
editarReferências
- ↑ «O Monitor - Resolve, confere e ilustra». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016
- ↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016
