Teorema do valor médio

Em matemática, o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que, dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot$

O teorema do valor médio

Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b.

O teorema do valor médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média é $v$, então, durante esse percurso (intervalo [a,b]), há um instante (ponto c) em que a velocidade instantânea também é $v$.

Demonstração

Seja

${\begin{alignedat}{4}g\colon &&[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} \\&&x&&\;\mapsto \;&f(x)-f(a)-{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).\end{alignedat}}$

Então $g$ também é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$. Além disso, $g(a)=g(b)=0$. Logo, pelo teorema de Rolle, existe algum $c$ ∈ $(a,b)$ tal que $g'(c)=0$. Mas

${\begin{aligned}g'(c)=0&\Longleftrightarrow f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\\&\Longleftrightarrow f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot \end{aligned}}$

Funções com Valores Vetoriais

Se $f$ for uma função contínua de $[a,b]$ em R$^{n}$ que seja derivável em $(a,b)$, então já não é verdade que existe necessariamente algum $c$ ∈ $(a,b)$ tal que

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot$

Considere-se, por exemplo, a função $f$ de $[0,2\pi ]$ em R$^{2}$ definida por

$f(x)=(\cos(x),\operatorname {sen} (x))$.

Então

${\frac {f(2\pi )-f(0)}{2\pi -0}}=(0,0),$

mas

$(\forall x\in (0,2\pi )):f'(x)=(-\operatorname {sen} (x),\cos(x))\neq (0,0).$

No entanto, é verdade que existe sempre algum $c$ ∈ $(a,b)$ tal que

${\frac {\|f(b)-f(a)\|}{b-a}}\leqslant \|f'(c)\|.$

Isto pode ser demonstrado do seguinte modo. Seja $v$ ∈ R$^{n}$ um vector de norma 1 tal que

$\langle v,f(b)-f(a)\rangle =\|f(b)-f(a)\|$

e seja

${\begin{alignedat}{4}g\colon &&[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} \\&&x&&\;\mapsto \;&\langle v,f(x)-f(a)\rangle .\end{alignedat}}$

Então $g$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, pelo que existe algum $c$ ∈ $(a,b)$ tal que

$g'(c)={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\Longleftrightarrow \langle v,f'(c)\rangle =\left\langle v,{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right\rangle ={\frac {\|f(b)-f(a)\|}{b-a}},$

pelo que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

${\frac {\|f(b)-f(a)\|}{b-a}}={\bigl |}\langle v,f'(c)\rangle {\bigr |}\leqslant \|v\|.\|f'(c)\|=\|f'(c)\|.$

Generalização: Teorema de Cauchy

Significado geométrico do teorema de Cauchy.

Um resultado mais geral é o Teorema de Cauchy, que afirma que se f e g são funções contínuas de [a,b] em R que são deriváveis em (a,b), então existe algum c ∈ (a,b) tal que

$(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).$

É uma generalização do teorema de Lagrange pois, se se tomar g(x) = x, isto significa

$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)\Leftrightarrow {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c).$

O Teorema de Cauchy pode ser demonstrado considerando a função h de [a,b] em R definida por

$h(x)=(f(b)-f(a))(g(x))-(g(b)-g(a))(f(x)).$

Então h é contínua, é derivável em (a,b) e h(a) = h(b), pelo que existe algum c ∈ (a,b) tal que

${\begin{aligned}h'(c)=0&\Leftrightarrow (f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c)=0\\&\Leftrightarrow (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).\end{aligned}}$

Naturalmente, o Teorema de Cauchy não tem interesse caso f(a) = f(b) e g(a) = g(b). Caso contrário, o significado do teorema de Cauchy é: se se considerar a curva

${\begin{alignedat}{3}[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} ^{2}\\x&&\;\mapsto \;&{\bigl (}f(x),g(x){\bigr )},\end{alignedat}}$

então o declive de recta definida por (f(a),g(a)) e por (f(b),g(b)) é igual ao declive da tangente à curva em algum ponto.

Ver também

• Teorema da velocidade média
• Teorema de Rolle