Teoria de Kummer
Este artigo ou secção contém uma lista de referências no fim do texto, mas as suas fontes não são claras porque não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (Agosto de 2021) |
Em matemática, na teoria dos números e na álgebra abstrata, a teoria de Kummer fornece a descrição de certos tipos de extensões de corpo envolvendo a adjunção de raízes n-ésimas de elementos do corpo base. A teoria foi desenvolvida originalmente por Ernst Eduard Kummer na década de 1840, no seu trabalho pioneiros sobre o último teorema de Fermat.
As afirmações principais não dependem da natureza do corpo, além de sua característica, que não deve dividir o inteiro n, e portanto pertencem à álgebra abstrata. A teoria das extensões cíclicas de um corpo K quando a característica de K não divide n é chamada teoria de Artin-Schreier.
Uma extensão de Kummer é uma extensão de corpos L/K, na qual para algum inteiro n > 1 temos
- K contém n raízes n-ésimas distintas da unidade (isto é, raízes de Xn-1)
- L/K tem grupo de Galois abeliano de expoente n. O expoente de um grupo G, cujos elementos têm ordem finita, é o menor múltiplo comum, se existe, da ordem dos elementos de G.
Por exemplo, tomando n = 2, a primeira condição é sempre verdadeira se K tem característica diferente de 2. As extensões de Kummer neste caso, incluem as extensões quadráticas L= K(a), onde a é uma raiz quadrada primitiva de um elemento em K.
Como a extensão de Kummer L/K é um corpo de decomposição para o polinômio Xn-a, para algum a em K, temos que ela é uma extensão normal.
Referências
editar- Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", em J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 45–93.
