Base (álgebra linear)

Vector e covector

Na álgebra linear, uma base de um espaço vectorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço.

Definição

Se $E$ é um espaço vectorial sobre um corpo $K,$ chama-se base de $E$ a um conjunto de vectores de $E$ linearmente independentes que gera $E.$

Exemplos

• O espaço vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ tem por base o conjunto

$\{(1,0,0,\ldots ,0,0),(0,1,0,\ldots ,0,0),\ldots ,(0,0,0,\ldots ,0,1)\},$

que se denomina a sua base canónica.

• No plano $\mathbb {R} ^{2},$ a recta de equação $y=mx$ tem por base o conjunto $\{(1,m)\}.$
• O espaço vectorial dos polinómios p(x) de coeficientes reais tem uma base infinita, o conjunto $\{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}.$
• Cada corpo K pode ser considerado como um espaço vectorial sobre ele mesmo. Neste caso, qualquer elemento não-nulo $a$ forma uma base $\{a\}.$
• O espaço vectorial formado pelo vetor nulo $\{0\}$ tem como base o conjunto vazio.
• Seja $\alpha \in L$ um elemento algébrico sobre o corpo $K,$ sendo $L$ uma extensão de $K.$ Então existe um polinômio $p(x)$ com coeficientes em $K$ tal que $p(x)=0.$ Podemos definir $n,$ o grau de $\alpha$ em $K,$ como o menor grau dos polinômios $p(x)$ em que $p(x)=0.$ Então $K[\alpha ]$ é uma extensão algébrica de $K$ e, portanto, podemos considerar $K[\alpha ]$ como um espaço vetorial sobre $K.$ Neste caso, a sua base é $\{1,\alpha ,\ldots ,\alpha ^{n-1}\}.$

Cardinalidade e dimensão

Um espaço vectorial pode ter mais de uma base. De facto, um espaço vectorial só pode ter uma única base nos seguintes casos:

• o espaço formado só por $0$ sobre qualquer corpo (a base é o conjunto vazio);
• o espaço $\mathbb {Z} _{2}$ como espaço vectorial sobre o corpo $\mathbb {Z} _{2}$ (a base é {$1$}).

Os seguintes resultados, porém, são válidos:

• Se um espaço vectorial tem uma base $B$ finita, então todas as outras bases também são finitas, e têm a mesma cardinalidade.
• De modo geral, supondo-se o axioma da escolha, duas bases de um espaço vectorial $V$ tem a mesma cardinalidade (mesmo se a base for um conjunto infinito). Esta cardinalidade designa-se por dimensão de $V.$ Um espaço vectorial que possui uma de suas bases formada por 3 vectores, por exemplo, é um espaço vetorial de dimensão 3.

Existência

Usando-se uma forma equivalente do axioma da escolha, o Lema de Zorn, é fácil mostrar que todo espaço vectorial $V$ tem uma base e, mais geralmente, provar que, para qualquer conjunto $S$ linearmente independente de vectores de $V,$ existe uma base $B$ de $V$ que contém $S.$ Seja $L$ o conjunto de todos as partes linearmente independentes de $V$ que contêm $S.$ O conjunto $L$ está parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos. Seja $F$ uma parte de $L$ totalmente ordenada. Então $F$ é majorado; basta ver que a união de todos os elementos de $F$ é novamente linearmente independente e contém $S$ (ou seja, pertence a $L$) e que contém todos os elementos de $F.$ O lema de Zorn afirma então que $L$ tem algum elemento maximal $B.$ Então, como $B$ ∈ $L,$ $B$ é linearmente independente e contém $S.$ Se $B$ não gerasse $V,$ haveria algum vector $v$ ∈ $V$ que não seria combinação linear de elementos de $B.$ Então $B$ ∪ $\{v\}$ seria também um conjunto linearmente independente que conteria $S.$ Mas $B$ ⊂ $B$ ∪ $\{v\}$ e $B$ ≠ $B$ ∪ $\{v\},$ o que está em contradição com $B$ ser um elemento maximal de $L.$ Logo, $B$ gera $V$ e, portanto, é uma base.

Subespaços vectoriais

Se o espaço vectorial $V$ tem uma base $B,$ e $W$ é um subespaço vectorial de $V,$ então $W$ tem uma base $B_{1}$ com as seguintes propriedades:

• Se $B$ é um conjunto finito e $W$ é um subconjunto próprio de $V,$ então $B_{1}$ tem menos elementos que $B.$
• No caso geral, pode-se apenas afirmar que a cardinalidade de $B_{1}$ é menor ou igual que a de $B.$

Outra propriedade importante é a seguinte:

• Se W é um subespaço vectorial de V, e W tem uma base B₁, então existe uma base B de V tal que B₁ é um subconjunto de B.

Este resultado, no caso infinito, depende do axioma da escolha.

Interpretação

Uma boa forma de interpretar o conceito de Base é pensar nas cores primárias: se misturarmos amarelo, magenta e azul ciano nas proporções correctas podemos criar qualquer outra cor que desejemos. Além do mais, tal proporção é única para a cor desejada. Da mesma forma, uma Base permite-nos, de maneira única, combinar linearmente ("misturar") os seus vectores ("cores primárias") para obtermos o vector ("a cor") que pretendemos.

Bibliografia

• Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975 

Ligação Externa

• Bases, subespaços e somas diretas (exemplo) - Lima, L. Elon.