Gromovov-Wittenov invariant

Gromovove-Wittenove invarianty (GW) sú v matematike (konkrétne v sympletickej topológii a algebrickej geometrii) racionálne čísla, ktoré za istých situácií počítajú pseudohomologické krivky spĺňajúce predpísané podmienky za danej sympletickej priestorovosti. GW invarianty môžu byť zhrnuté ako homologická alebo kohomologická trieda vo vhodnom priestore, alebo ako deformovaný združený (cup) výsledok kvantovej kohomológie. Tieto invarianty sa používajú na rozlíšenie sympletických priestorovostí, ktoré boli predtým nerozlíšiteľné. Hrajú taktiež zásadnú úlohu v uzavretom type teórie strún IIA. Sú pomenované po Michailovi Gromovovi a Edwardovi Wittenovi.

Rigorózna matematická definícia Gromovových-Wittenových invariantov je zdĺhavá a zložitá a tak bude predmetom samostatného článku s názvom stabilná mapa. Tento článok sa pokúsi o viac intuitívne vysvetlenie toho čo invarianty sú, ako sa počítajú a prečo sú dôležité.

Definícia

Majme uzavretú sympletickú priestorovosť $X$ o rozmere $2k$. Nech $A$ je dvojrozmerná homologická trieda v $X$, a $g$ a $n$ akékoľvek prirodzené čísla (vrátane nuly). Nech ${\bar {M}}_{g,n}$ je Deligne-Mumfordov moduli priestor kriviek s génom $g$ s $n$ vyznačenými bodmi. Pre vybranú takmer komplexnú štruktúru J na X kompatibilnú s jej sympletickou formou, nech ${\bar {M}}_{g,n}(X,A)$ je moduli priestor stabilných máp do $X$ triedy $A$. Elementy tohto priestoru majú formu $((C,j,(x_{1},\ldots ,x_{n})),f)$, kde $(C,j,(x_{1},\ldots ,x_{n}))$ je (nie nutne stabilná) krivka s n vyznačenými bodmi $x_{1},\ldots ,x_{n}$ a $f:C\to X$ je pseudoholomorfná. Moduli priestor má reálny rozmer

$d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.$

Nech

$\mathrm {st} (C,j,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\in {\bar {M}}_{g,n}$

označuje stabilizáciu krivky . Nech

$Y:={\bar {M}}_{g,n}\times X^{n},$

majúce reálny rozmer $6g-6+2kn$. Existuje evaluačná mapa

$\mathrm {ev} :{\bar {M}}_{g,n}(X,A)\to Y$

definovaná prostredníctvom

$\mathrm {ev} ((C,j,(x_{1},\ldots ,x_{n})),f)=\left(\mathrm {st} (C,j,(x_{1},\ldots ,x_{n})),(f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n}))\right).$

Evaluačná mapa posiela fundamentálnu triedu $M$ do $d$-dimenzionálnej racionálnej homologickej triedy v $Y$, označovanom

$GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).$

V istom zmysle je táto homologická trieda Gromovovým-Wittenovým invariantom $X$ pre údaje $g$, $n$ a $A$. . Je invariantom sympletickej izotopnej triedy sympletickej priestorovosti $X$.

Pre geometrickú interpretáciu Gromovovho-Wittenovho invariantu, nech $\beta$ je homologická trieda v ${\bar {M}}_{g,n}$ a $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ homologické triedy v $X$ tak, že suma kodimenzií $\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ rovná sa $d$. Tieto uvádzajú homologické triedy v $Y$ podľa Künnethovho vzorca. Nech

$GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdot \cdots \cdot \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),$

kde $\cdot$ označuje priesečníkový produkt v racionálnej homológii $Y$. Toto je racionálne číslo, Gromovov–Wittenov invariant pre dané triedy. Toto číslo dáva "virtuálny" počet preudohomologických kriviek (v triede $A$ génu $g$, s doménou v $\beta$-časti Delignovho-Mumfordovho priestoru), ktorých $n$ vyznačené body sú mapované na cykly reprezentujúce $\alpha _{i}$.

Povedané jednoduchou rečou, GW invariant ráta, koľko je kriviek, ktoré pretínajú $n$ vybraných podmnožín priestorovosti $X$. Avšak, v dôsledku "virtuálnej" povahy počtu, nemusí to byť prirodzené číslo ako by niekto očakával. Keďže priestor stabilných máp je mnohovrstvý (orbifoldný), ktorého izotropné body môžu poskytovať necelé hodnoty pre invarianciu.

Existuje mnoho variácií tejto konštrukcie, v ktorej sa namiesto homológie používa kohomológia, integrácia nahradzuje priesečník, Chernove triedy odvodené z Deligne-Mumfordovho priestoru sú taktiež integrované, atď.

Výpočtové techniky

Gromovove-Wittenove invarianty sa vo všeobecnosti ťažko počítajú. Keďže sú definované pre akékoľvek vo všeobecnosti takmer komplexné štruktúry $J$, pre ktoré je linearizácia $D$ operátora ${\bar {\partial }}_{j,J}$ surjektívna, musia byť v skutočnosti počítané s ohľadom na špecifické vybraté $J$. Najvhodnejšie je vybrať $J$ so špeciálnymi charakteristikami, ako sú nevšeobecné symetrie alebo integrovateľnosť. Výpočty sa skutočne často vykonávajú na Kählerových priestorovostiach používajúcich techniky algebrickej geometrie.

Avšak, špeciálne $J$ môže indukovať nesurjektívne $D$ a tým moduli priestor pseudoholomorfických kriviek, ktorý je väčší ako očakávaný. Voľne povedané, tento efekt sa koriguje formovaním z kokernelu $D$vektorového zhluku nazývaného obštrukčný zhluk a následne realizáciou GW invariantu ako integrálu Eulerovej triedy obštrukčného zhluku. Vytvorenie presnej predstavy si vyžaduje značný technický argument za použitia Kuranishiho štruktúr polyzhlukov.

Hlavnou výpočtovou technikou je lokalizácia. Táto sa aplikuje,keď $X$ je tórické, čo znamená, že sa s ním narába pomocou komplexného torusu alebo aspoň lokálne tóricky. Potom je možné použiť Atiyah-Bottovu teorému fixného bodu autorov Michael Atiyah, Raoul Botta na zredukovanie alebo lokalizáciu, výpočet GW invariantu pre integráciu na lokuse fixného bodu akcie.

Ďalší prístup je použiť sympletické rezy na vztiahnutie $X$ na jeden alebo viacero priestorov, ktorých GW invarianty sa počítajú ľahšie. Samozrejme, je potrebné najskôr porozumieť tomu, ako sa invarianty v rezoch správajú. Pre takéto aplikácie sa často používajú rozvinutejšie relatívne GW invarianty, ktoré počítajú krivky s predpísanými podmienkami tangencie spolu so sympletickými podmnožinami priestorovostí $X$ reálnej kodimenzie dva.

Príbuzné invarianty a ďalšie konštrukcie

Gromovove-Wittenove invarianty sú úzko spojené s množstvom ostatných konceptov v geometrii, vrátane Donaldsonových invariantov a Seibergových-Wittenových invariantov. Pre kompaktnú sympletickú metódu štvorrozmanitosti Clifford Taubes ukázal, že varianty Gromov-Wittenových invariantov (pozri Taubes-Gromovov invariant) sú ekvivalentné Seiberg-Wittenovým invariantom. Ich priesečníky obsahujú rovnaké informácie ako Donaldson-Thomasove invarianty a Gopakumar-Vafove invarianty, ktoré sú vyčíslené v integer hodnotách.

GW invarianty môžu byť definované taktiež pomocou jazyka algebrickej geometrie. V niektorých prípadoch GW invarianty súhlasia s klasickými vypočítavanými invariantami algebrickej geometrie. Avšak, vo všeobecnosti majú GW invarianty omnoho väčšiu výhodu nad vypočítavanými invariantami a to v existencii kompozičného zákona, ktorý popisuje, ako sa krivky k sebe navzájom prilínajú. GW invarianty môžu byť zahrnuté do kruhu kvantovej kohomológie rozmanitosti $X$, ktorá je deformáciou obyčajnej kohomologógie. Kompozičný zákon GW invariantov je to, čo spôsobuje asociatívnosť združeného (cup) produktu.

Kruh kvantovej kohomológie je známy ako izmorfný pre sympletickú Floerovu homológiu so svojím produktom typu pár.

Aplikácia vo fyzike

Gromovove-Wittenove invarianty sú so záujmom prijímané v teórii strún, odvetví fyziky, ktoré sa pokúša zjednotiť všeobecnú relativitu a kvantovú mechaniku. Podľa tejto teórie, všetko vo vesmíre, počínajúc elementárnymi časticami, je vytvorené z drobných strún. Ako struna cestuje v časopriestore, sleduje povrch, zvaný strunová schránka sveta. Žiaľ moduli priestor takýchto parametrizovaných povrchov, prinajmenšom a priori má nekonečnú veľkosť; nie je známe žiadne vhodné meradlo tohto priestoru a tak integrály ciest teórie nemajú rigoróznu definíciu.

Situácia sa zlepší vo variáciách známych ako uzatvorený A model topologickej teórie strún. Tu je šesť časopriestorových rozmerov, ktoré ustanovujú sympletickú priestorovosť a ukazuje sa, že svetové obálky sú nevyhnutne parametrizované pseudohomologickými krivkami, ktorých moduli priestory majú len konečné dimenzie. Gromov-Wittenove invarianty, ako integrály nad týmito moduli priestormi, sú potom integrálmi ciest tejto teórie. Obzvlášť, voľná energia A modelu pri géne $g$ je generujúcou funkciou génu $g$ Gromov-Wittenových invariantov.

Zdroj

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Gromov–Witten invariant na anglickej Wikipédii.

Externé odkazy

• McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1.

• Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer-Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7