定理

定理（英語：Theorem）是經過受邏輯限制的證明為真的陈述。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些 $a$ 是 $x$ ，某些 $a$ 是 $y$ ，就不能算是定理）。

猜想是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做命题，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。

如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。

在命題邏輯，所有已證明的敘述都稱為定理。

各種數學敘述（按重要性來排列）

數學原理
公理（也稱公設）－公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。
定理
命題－通常，命題是一個可以判斷真或假的陳述句，亦有既真又假的命題（悖論）。
推論（也稱系、系理）－一個從定理隨之而即時出現的敘述。若命題B可以很快、簡單地推導出命題A，命題A為命題B的推論。
引理（也稱輔助定理，補理）－某個定理的證明的一部分的敘述。它並非主要的結果。引理的證明有時還比定理長，例如舒尔引理。
假說－根據已知的科學事實和科學原理，對所研究的自然現象及其規律性提出的推測和說明。

結構

定理一般都有许多條件。然後有結論——一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若條件，則結論」。用符號邏輯來寫就是條件→結論。而當中的證明不視為定理的成分。

逆定理

若存在某敘述為 $A\rightarrow B$ ，其逆敘述就是 $B\rightarrow A$ 。逆敘述成立的情況是 $A\leftrightarrow B$ ，否則通常都是倒果為因，不合常理。若果敘述是定理，其成立的逆敘述就是逆定理。

若某敘述和其逆敘述都為真，條件必要且充足。
若某敘述為真，其逆敘述為假，條件充足。
若某敘述為假，其逆敘述為真，條件必要。

逻辑中的定理

逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰

一个定理是一个含有由建立于语言集合

L

上的命题（

L

-命題）组成的非空集合。

这个定理（或这个命题集合）我们记作 $T$ ，这些建立于语言集合 $L$ 上的命题必须符合如下属性：

对所有在

T

中的命题

\varphi

，如果

T\vDash \varphi

，那么

\varphi \in T

。

比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合 $L$ 上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理 $T$ 的扩展（extension），前提是该定理包含定理 $T$ 。

有一个命题集合 $A$ ，我们將一个包含 $A$ 的集合记作 ${\mbox{Th}}(A)$ ，那麽 ${\mbox{Th}}(A)=\{\ \varphi \ \ |\ \ A\vDash \varphi \ \}$ 。显而易见 $A\vDash {\mbox{Th}}(A)$ ，所以 ${\mbox{Th}}(A)$ 是一个定理。比如我们有一个集合 $G$ ， $G$ 有三个基于语言 $L$ 上的命题，其中 $L=\{e,f\}$ ， $e$ 是常数符号， $f$ 是函数符号。三个命题如下：

\forall x\forall y\forall zf(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))

，

\forall xf(x,e)=x\land f(e,x)=x

，

\forall x\exists yf(x,y)=e\land f(y,x)=e

。

那么如果有 ${\mbox{Th}}(G)=\{\ \varphi \ \ |\ \ G\vDash \varphi \ \}$ ，則 ${\mbox{Th}}(G)$ 是 $G$ 的定理。当然，如果 $A$ 和 $B$ 是两个命题集合且满足 $A\subseteq B$ ，那么 ${\mbox{Th}}(A)\subseteq {\mbox{Th}}(B)$ 。

我们说一个定理 $T$ 是完整的（Complete），当且仅当对于和 $T$ 一样构建在同样语言集合上的所有命题 $\varphi$ ，要么 $\varphi \in T$ ，要么 $\lnot \varphi \in T$ 。

注意：这个概念不能和定理

T

的完备性（Completude）混淆，完备性是证明在定理

T

中的永真命题是递推可枚举的（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。

不是所有的定理是完整的。比如 ${\mbox{Th}}(\Phi )$ 一个空集合 $\{\Phi \}$ 的定理是所有真命题集合，但是 ${\mbox{Th}}(\Phi )$ 不是完整的。假如有命題 $\Psi =\exists x\exists y(x\neq y)$ ，对于 $\Psi$ 来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说 ${\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \Psi$ 且 ${\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \lnot \Psi$ 。因此 $\Psi \notin {\mbox{Th}}(\Phi )$ ，所以我们说 ${\mbox{Th}}(\Phi )$ 不是完整的。一个定理 $T$ 称作是稳健的（Consistante），当且仅当 $\forall \varphi \in T,\ \lnot \varphi \notin T$ 。我们说对所有的解释（Interpretation） $I$ ， ${\mbox{Th}}(I)$ 是一个定理，并且 ${\mbox{Th}}(I)$ 既是稳健的又是完整的。