כניעה (הנדסה)

נקודת הכניעה היא נקודה על גבי עקום מאמץ-עיבור המייצגת את נקודת המעבר בין התנהגות אלסטית לבין תחילתה של התנהגות פלסטית. חוזק לכניעה או מאמץ כניעה הוא אחד ממאפייני החומר המגדירים את המאמץ בו החומר מתחיל לחוות דפורמציה פלסטית. נקודת הכניעה זו הנקודה בה מתחילה דפורמציה לא ליניארית (אלסטית + פלסטית). קודם לנקודה זו החומר יחווה מעוותים אלסטיים בהפעלת מאמץ, החומר ישוב לצורתו המקורית כאשר המאמץ ייפסק. ברגע שהמאמץ חוצה את נקודת הכניעה, חלק מהדפורמציה הופכת לקבועה ולבלתי הפיכה.

נקודת הכניעה קובעת את גבולות הביצועים של רכיבים מכניים, כיוון שהיא מייצגת את הגבול העליון לכוחות שניתן להפעיל על רכיב מבלי לגרום לעיוות קבוע. בהנדסת מבנים, זהו מצב כשל רך אשר בדרך כלל לא יגרום לכשל קטסטרופלי או אולטימטיבי, אלא אם כן הוא מאיץ קריסה.

התקדמות בטכניקות המדידה מאפשרות מיפוי מדויק יותר של נקודת הכניעה, אשר כפי שמציין מרכוס ריינר, הראתה כי "לא הייתה נקודת כניעה".

חוזק לכניעה הוא מאפיין חומרי קריטי המנוצל על ידי טכניקות בסיסיות רבות בעיבוד חומרים על ידי הפעלת מאמצים על החומר (כגון: חישול, ערגול, לחצנות, כיפוף, שיחול ועוד), להפרדת חומרים באמצעות חיתוך (בתהליכי עיבוד שבבי) או גזירה, ולחיבור רכיבים באופן קשיח באמצעות מחברים (כמו ברגים, מסמרות וכו').

אחד הדרכים לקביעת מאמץ הכניעה היא הנקודה בה ישנה דפורמציה של מעל 0.2%, קביעה זו אינה מוחלטת אך מתאימה למספר רב של מתכות.

תחת משטר מאמצים תלת־ממדי $(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})$, מספר אינסופי של נקודות כניעה מייצרים משטח כניעה.

הגדרה

עקומת מאמץ-עיבור המציגה התנהגות טיפוסית עבור סגסוגות אל-ברזליות, כדוגמת פלדה (מאמץ,$\sigma$ מוצג כפונקציה של עיבור,$\varepsilon$). על העקומה כמה נקודות:
1. גבול אלסטי אמיתי
2. גבול פרופורציונלי
3. גבול אלסטי
4. היסט נקודת כניעה

לעיתים קרובות קשה להגדיר באופן מדויק את נקודת הכניעה כיוון שקיים מגוון גדול של חומרים ושונות בין חומרים ובין עקומות מאמץ-עיבור של כל חומר וחומר. בנוסף, ישנן מספר דרכים להגדרת נקודת הכניעה.

גבול אלסטי אמיתי

המאמץ הנמוך בו נעים נקעים, הגדרה זו משמשת לעיתים רחוקות, כיוון שנקעים נעים גם במאמצים נמוכים מאוד וגילוי תנועה מסוג זה קשה מאוד.

גבול פרופורציונלי

הגבול כולל את התחום בו המאמץ פרופורציונלי לעיבור (חוק הוק), ולכן עקום מאמץ-עיבור בתחום זה הוא ליניארי. ולכן השיפוע (גראדיאנט) יהיה שווה למודול האלסטיות של החומר.

גבול אלסטי (חוזק לכניעה)

מעבר לגבול האלסטי, תתרחש דפורמציה קבועה. הגבול האלסטי הוא אפוא נקודת המאמץ הנמוכה ביותר שבה ניתן למדוד עיוות קבוע. מדידת הגבול באמצעות תהליך זה דורשת העמסה ופריקה ידניים ודיוק המדידה תלוי בטיב הציוד ובמיומנות המפעיל. עבור אלסטומרים, כגון גומי, הגבול הגמיש הוא הרבה יותר גדול מהגבול הפרופורציונלי. בנוסף מדידות עיבור מדויקות חשפו כי מעוות פלסטי מתחיל גם במשטר מאמצים נמוך.

נקודת כניעה

הנקודה בעקומת המאמץ-עיבור שבה שיפוע העקומה יורד ודפורמציה פלסטית מתחילה להתרחש.

היסט נקודת כניעה (מאמץ מוכח)

כאשר יש קושי בהגדרה פשוטה של נקודת הכניעה בהתבסס על צורת עקומת מאמץ-עיבור, נגדיר נקודת כניעה שרירותית באמצעות הזחה של נקודת הכניעה. ערך זה מוגדר בדרך כלל עד 0.2% עיבור. ערך זה הוא תוצאה של המאמץ המקביל להעמסה לא פרופציונלית כאשר השינוי יחסית לאורך ההתחלתי הוא 0.2% או 1% (למשל: $R_{P(0.2)}=310N/mm^{2},R_{P(1.0)}=350N/mm^{2}$) עבור רוב השימושיים ההנדסיים נשתמש ב$R_{p(0.2)}$. ערך זה מוכפל במקדם ביטחון על מנת להבטיח ערך נמוך יותר מנקודת הכניעה המוסטת ($R_{v(0.2)}$). בפלדות בעלות חוזק גבוה וסגסוגות אלומיניום קשה להבחין בנקודת הכניעה ולכן שימוש בשיטת היסט נקודת הכניעה יעילה במקרים אלה.

נקודת כניעה עליונה ותחתונה

חלק מהמתכות, כגון פלדה קלה, מגיעות לנקודת כניעה עליונה לפני שהן יורדות במהירות לנקודת כניעה נמוכה יותר. התגובה החומרית היא ליניארית עד לנקודת הכניעה העליונה, אך נקודת הכניעה התחתונה משמשת בהנדסת מבנים כערך שמרני.

חוזק תאורטי לכניעה

חוזק הכניעה התאורטי ניתן להערכה על ידי בחינת תהליך הכניעה ברמה האטומית. בגביש מושלם, תוצאת גזירה היא תזוזת מישור אטומים שלם במרווח בשיעור b יחסית למישור מתחת. על מנת שהאטומים ינועו, יש להפעיל כוח רב כדי להתגבר על אנרגיית הסריג ולהזיז את האטומים במישור העליון מעל האטומים התחתונים על אתר הסריג החדש. המאמץ הנדרש כדי להתגבר על התנגדות סריג מושלם לגזירה הוא חוזק הכניעה התאורטי, $\tau _{max}$.

גזירה

עקומת המאמץ-תזוזה עבור מישור אטומים משתנה סינוסיאדלית, כאשר שיא המאמץ מתרחש כאשר מופעל כח על אטום לנוע מעל גבי אטום אחר ולאחר מכן ירידה במאמץ כאשר האטום המאולץ מגיע לאתר סריג פנוי.

$\tau =\tau _{\max }\sin \left({\frac {2\pi x}{b}}\right)$

כאשר $b$ הוא המרווח המפריד בין מישורי האטומים. עבור מאמץ גזירה: $\tau =Gy$ועבור הזזות קטנות: ${\operatorname {d} \!\tau \over \operatorname {d} \!y}=G$(נחליף את $y$ב$x$, הזזות קטנות- מרחק בין אטומי יחיד) נקבל את המשוואה הבאה:

$G={d\tau \over dx}={2\pi \over b}\tau _{max}cos({2\pi x \over b})={2\pi \over b}\tau _{max}$

עבור הזזות קטנות של $\gamma =x/a$כאשר a הוא המרחק הבין אטומי באותו מישור, ניתן לכתוב את הביטוי הבא:

$G={d\tau \over d\gamma }={2\pi \over b}\tau _{max}$

ולכן ניתן להעריך את חוזק הכניעה התאורטי כ:ׂ$\tau _{max}={G \over 30}$

ערכים אופייניים עבור חוזק כניעה תאורטי וניסויי

חוזק הכניעה התאורטי עבור גביש מושלם גבוה בהרבה מתצפיות החוזק הנמדד בעת תחילת הדפורמציה הפלסטית. ערכי חוזק הכניעה התאורטיים והניסויים מוצגים בטבלה הבאה:

חומר	חוזק כניעה תאורטי (GPa)	חוזק כניעה ניסויי
		(GPa)	(MPa)
Ag (כסף)	1.0	0.00037	0.37
Al (אלומיניום)	0.9	0.00078	0.78
Cu (נחושת)	1.4	0.00049	0.49
Ni (ניקל)	2.6	0.0032	3.2
α-Fe (פלדה פריט)	2.6	0.0275	27.5

חוזק הכניעה שנמדד במהלך הניסויים נמוך משמעותית מהערך התאורטי הצפוי, ניתן להסביר זאת על ידי נוכחות נקעים ופגמים בחומרים. בניסויים שבוצעו על גבישים מושלמים (בדרך כלל קטנים יחסית) שלא כללו פגמים על פני השטח, נמדדו ערכי חוזק לכניעה הקרובים לערך התאורטי. לדוגמה בננו-סיבים עשויים מנחושת ערך השבר הפריך שנמדד היה 1 GPa, ערך המתקרב לערך התאורטי וגבוה בהרבה מהערך הנמדד עבור דגם נחושת סטנדרטי.

קריטריון כשל

קריטריון כשל, המתבטא לעיתים קרובות כמישור כשל, הוא השערה לגבי הגבול האלסטי תחת שילוב מאמצים. קיימות שתי פרשנויות בנוגע לקריטריוני כשל, הראשונה מתמטית המתבססת על גישות סטטיסטיות ואילו השנייה מנסים לספק הצדקה המבוססת על עקרונות פיזיקליים מבוססים. כיוון שניתן לבטא את המאמץ והעיבור באמצעות טנזורים, ניתן לנרמל את הטנזורים ולצמצם את מספר המאמצים הפועלים במקביל מתשעה לשלושה בכיוונים הראשיים. הסימונים של המאמצים בכיוונים הראשיים, יסומנו: $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$.

נציג את קריטריוני הכשל הנפוצים הנוגעים לחומר איזוטרופי (מאפיינים אחידים בכל הכיוונים), קריטריוני כשל אחרים הוצעו ומשמשים מצבים וחומרים אחרים.

קריטריון כשל - חומרים איזוטרופיים

מאמץ נורמלי מקסימלי - (פותח על ידי W.J.M Rankine ב-1850) הכשל מתרחש כאשר המאמץ הראשי גבוה מהחוזק לכניעה. קריטריון זה מהיר ונוח לשימוש בהשוואה לנתונים ניסויים אך נעשה בו שימוש לעיתים רחוקות למטרות תכן. תאוריה זו מתאימה בעיקר לחומרים פריכים כגון ברזל יציקה.

$\sigma _{1}\leq \sigma _{y}$

מעוות נורמלי מקסימלי - (פותח על ידי St.Venant) כשל מתרחש כאשר המעוות הראשי גבוה ממעוות הכניעה במהלך ניסוי מתיחה פשוט. במונחים של מאמצים ראשיים ניתן לבטא על ידי המשוואה הבאה:

$\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3})\leq \sigma _{y}$

מאמץ גזירה מקסימלי - ידוע גם כקריטריון טרסקה ע"ש המדען הצרפתי הנרי טרסקה. כשל מתרחש כאשר מאמץ הגזירה $\tau$גבוה ממאמץ הכניעה בגזירה $\tau _{y}$, מתאים גם לחומרים משיכים בהם הכשל הוא פלסטי.

$\tau ={\sigma _{1}-\sigma _{3} \over 2}\leq \tau _{y}$

אנרגיית מעוותים כוללת - תאוריה זו מניחה שהאנרגיה האצורה שנוצרה בעיוות אלסטי, אינה תלויה בטנזור המאמץ. כשל יתרחש כאשר אנרגיית המעוותים ליחידת נפח גדולה יותר מאנרגיית המעוותים בנקודת הכניעה. עבור מצב מאמצים תלת־ממדי מתקבלת הנוסחה הבאה:

$\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-2\nu (\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{1}\sigma _{3})\leq \sigma _{y}^{2}$

אנרגיית שינוי צורה- נקרא גם: קריטריון פון מיזס ע"ש ריצ'רד פון מיזס. בדומה לקריטריון טרסקה, קריטריון זה מתאים גם לחומרים משיכים. מתבסס על ההבחנה כי העמסה הידרוסטטית (לחיצה או מתיחה) אינה גורמת לכשל פלסטי. החידוש בקריטריון זה הוא בהיותו אינטראקטיבי- ישנה אינטראקציה בין רכיבי טנזור המאמצים בנקודה, המשפיעה על כשל החומר. קריטריון הכשל חייב להתבסס על המאמצים הדיביאטוריים בלבד. ביטוי הקריטריון ע"פ המאמצים הראשיים הוא:

$\sigma _{eq}={1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}}}\leq \sigma _{y}$או עבור טנזור לא מנורמל: $\sigma _{eq}={1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{11}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{13}^{2}+\sigma _{23}^{2})^{2}}}\leq \sigma _{y}$

רשימת קריטריוני כשל נפוצים/אחרים:

• קריטריון פון מיזס
• קריטריון מור-קולומב
• קריטריון דרוקר-פראגר
• קריטריון ברסלר-פיסטר
• קריטריון ויליאם-ווארנק

קריטריון כשל- חומרים לא-איזוטרופיים

כאשר מתכת חשופה לדפורמציה פלסטית, מיקומי הגרעינים והכיווניות משתנים בהתאם לדפורמציה. כתוצאה מכך הכניעה הפלסטית במתכת תציג קשר ישיר בין המאמץ למעוות. כאשר לא ניתן להציג קשר ישיר בין הדפורמציה לבין המאמצים הפועלים על החומר לא ניתן להשתמש בקריטריוני כשל המיועדים לחומרים איזוטרופיים כמו קריטריון פון מיזס. קיימים מספר קריטריוני כשל עבור חומרים לא-איזוטרופיים:

• קריטריון היל
• קריטריון היל כללי
• קריטריון הוספורד

גורמים המשפיעים על החוזק לכניעה

המאמץ בו מתרחש הכשל תלוי במספר גורמים, אחד הוא קצב הדפורמציה (קצב העיבור) ובאופן משמעותי יותר הטמפ' בה מתרחשת הדפורמציה. באופן כללי חוזק הכניעה עולה עם קצב העיבור ויורד עם עליית הטמפ'. כאשר לטמפ' אין השפעה מכרעת על החוזק, החומר מציג אנומליה מסוימת והדבר אופייני עבור סגסוגות-על. תכונה המובילה לשימוש עבור אפליקציות בהן נדרש לעמוד בטמפ' וחוזק גבוהים.

מחקרים ראשוניים שנעשו על ידי אלדר ופיליפס מצאו קשר בין חוזק לכניעה וקצב עיבור (עבור טמפ' קבועה), הקשר הוצג על ידי המשוואה הבאה:

$\sigma _{y}=C({\dot {\epsilon }})^{m}$
כאשר C הוא קבוע, m הוא מקדם הקשיית מעוותים. המקדם מושפע מהטמפ' ועולה בהתאמה. חומרים עבורם המקדם גדול מ~0.5 נוטים להציג יכולות סופר-פלסטיות. ניתן לחלץ את המקדם m באמצעות לוגריתמים על שני אגפי המשוואה:

$m={\partial ln\ \sigma (\epsilon ) \over \partial ln\ ({\dot {\epsilon }})}$

בהמשך, נוספו משוואות מורכבות יותר שעסקו בו-זמנית בטמפ' ובקצב העיבור:

$\sigma _{y}={\frac {1}{\alpha }}\sinh ^{-1}\left[{\frac {Z}{A}}\right]^{\frac {1}{n}}\,\!$

כאשר $\alpha$ ו־A הם קבועים ו־Z הוא מקדם טמפ' פיצוי המעוות שמתואר בדרך כלל ע"פ מקדם זנר-הולמן

$Z=\left({\dot {\epsilon }}\right)\exp \left({\frac {Q_{HW}}{RT}}\right)\,\!$

$Q_{HW}$הוא אנרגיית האקטיבציה עבור דפורמציית חום, T- טמפ' במעלות קלווין.

מנגנוני העלאת החוזק לכניעה

ישנם מספר תהליכים שניתן ליישם על חומרים גבישיים או אמורפיים על מנת להעלות את נקודת הכניעה ואת החוזק לכניעה. באמצעות שינוי צפיפות הנקעים, זיקוק החומר, הגדלת הגרגרים (בחומרים גבישיים), החוזק לכניעה יכול לקבל ערכים גבוהים ומדויקים יותר. ניתן לבצע זאת בין היתר על ידי הכנסת זיהומים אל תוך החומר (כגון פחמן בפלדה). על מנת להניע את הפגם/זיהום הזה יש צורך להשקיע אנרגיה ומאמץ גבוהים יותר. מה שגורם לעליית החוזק לכניעה. בעוד תכונות חומרים רבים תלויים בהרכב החומר בתפזורת, נקודת הכניעה מושפעת גם בדרך בה עובד החומר והובא לתצורתו הסופית.

להלן מספר מנגנונים עבור חומרים גבישיים:

• הקשיית מעוותים
• חיזוק על ידי תמיסה מוצקה
• זיקון
• חיזוק על ידי הקטנת גרעינים

הקשיית מעוותים

כאשר חומר חווה דפורמציה, נקעים חדשים נוצרים בסריג וצפיפות הנקעים הכללי בחומר עולה. צפיפות הנקעים הגדלה מעלה את החוזק לכניעה של החומר, כיוון שהמאמץ הנדרש כעת 'חייב' להניע גם את הנקעים החדשים במבנה הסריגי של הגביש. נקעים חדשים שנוצרו יכולים לבוא במגע גם עם נקעים קודמים בחומר ובכך להעלות את מאמץ הכניעה עוד.
המשוואה השלטת במקרה זה היא:

$\Delta \sigma _{y}=Gb{\sqrt {\rho }}$

כאשר $\sigma _{y}$ הוא מאמץ הכניעה, G הוא מודול הגזירה, b- ההגבר של וקטור בורגס ו$\rho$הוא צפיפות הנקעים.

חיזוק על ידי תמיסה מוצקה

תמיסה מוצקה מכילה בתוכה אטומים מיסודות שונים ומגדלים שונים, תוך כדי סגסוג החומר (קירור החומר והבאה למצב יציב) האטומים הקטנים/גדולים יתמקמו ישירות מתחת לנקע. תופעה זו מחזקת את החומר כיוון שאטומי ה'זיהום' מתמקם בסמוך לנקע ומקשה על תנועתו במידה והרכיב/חומר מועמס.
היחס בין הגזירה במנגנון זה מבוטא על ידי הנוסחה הבאה:

$\Delta \tau =Gb{\sqrt {C_{s}}}\epsilon ^{\frac {3}{2}}$

כאשר $\tau$הוא מאמץ הגזירה, G הוא מודול הגזירה, b- ההגבר של וקטור בורגס, $C_{s}$הוא ריכוז המומס ו$\epsilon$הוא העיבור המושרה בסריג כתוצאה מהוספת אטומי הזיהום.

זיקון

זיקון מתבסס על הימצאות שתי פאזות בחומר אחד. כאשר מתבדלים מהפאזה המומסת נמצאים בפיזור טוב בחומר, הם יעלו את מאמץ הכניעה כיוון שיחסמו את תנועת הנקעים בתוך הגביש. פגם או נקע ייאלץ לעבור דרך ה'מחסומים' או משקעים של החומר המומס שמהווים חסם טוב יותר לעומת הפאזה של החומר המקורי. נקע יכול לנוע דרך החלקיקים האלו או על ידי גזירה או על ידי 'מעקף' של החלקיקים האלו, במקרה זה נוצרת טבעת חדשה סביב החלקיקים המומסים.

מאמץ הגזירה הנדרש הוא:

$\Delta \tau ={\frac {r_{\text{particle}}}{l_{\text{interparticle}}}}\gamma _{\text{particle-matrix}}$

והמאמץ עבור מעקף הוא:

$\Delta \tau ={\frac {Gb}{l_{\text{interparticle}}-2r_{\text{particle}}}}$

במקרה זה $r_{\text{particle}}$מבטא את רדיוס החלקיק/משקע, $\gamma _{\text{particle-matrix}}$הוא מתח הפנים בין הסריג לבין החלקיק, $l_{\text{interparticle}}$הוא המרחק בין חלקיקים מומסים.

חיזוק על ידי הקטנת גרעינים

הצטברות נקעים סביב גבול כלשהו גורמת לכוח דוחה בין נקעים. הצטברות גרגירים/אטומים קטנים יוצרת כח דוחה בין נקעים. ככל שגודל הגרעין קטן שטח הפנים של הגרעינים גדל וכך מתאפשרים יותר ויותר מקומות עבור גרעיני גבול. מעבר נקעים מגרעין לגרעין דורש אנרגיה רבה ולכן הנקעים מצטברים סביב גבול הגרעינים הנ"ל ומעלים את החוזק לכניעה של החומר.

מאמץ הכניעה עולה כמתואר במשוואה הבאה:

$\sigma _{y}=\sigma _{0}+kd^{-{\frac {1}{2}}}\,$

כאשר:

$\sigma _{0}$- המאמץ הדרוש להזחת נקע

k- קבוע החומר
d- גודל הגרעין

ניסויים

ניסוי מתיחה שנועד לבדוק חוזק לכניעה מבצעים על ידי מתיחת דגם קטן עם שטח חתך קבוע, את המתיחה עושים באמצעות כוח מבוקר, הולך וגדל בהדרגה כך שהדגם משנה את תצורתו אלסטית ופלסטית. שינויים אורכיים או העיבור נאספים תוך כדי המתיחה באמצעים מכניים או אופטיים.

התנהגות כשל יכולה לחישוב גם באמצעות אנליזות מכניות ממוחשבות. במיוחד כאשר כשלים מיקרוסקופיים נגרמים בגלל המבנה המיקרוסקופי של החומר.

בדיקת קשיות חומר, לקשיות ישנה קורלציה ליניארית חזקה ביחס לחוזק למתיחה עבור רוב הפלדות, אבל מדידות על חומר אחד לא יכולות להוות מדד עבור חומר אחר. בדיקת קשיות יכולה אפוא להוות תחליף חסכוני לניסויי מתיחה, כמו גם מתן שינויים מקומיים בחוזק מתיחה, למשל מדידה בנקודות ריתוך או אזורים שעברו תהליכים שונים. עם זאת, עבור מצבים קריטיים בדיקות המתח נעשה כדי למנוע עמימות.

השפעות על מבנים הנדסיים

למבנים חלשים יש קשיחות נמוכה, דבר המוביל לפגמים ומעלה את הסכנה בפני קריסה. המבנה המועמס יישאר במקרים מסוימים מעוות גם לאחר שחרור העומס ויתרה מכך במקרים מסוימים יכיל בתוכו עומסים שיוריים פנימיים כתוצאה מהעומס החיצוני. הנדסה מכנית של מתכות מציגה כי קיים מצב של הקשיית מעוותים, כלומר לאחר שחרור העומס מאמץ הכניעה של המתכת עולה. במבנים שעברו אופטימיזציה כמו קורות מטוסים ורכיבי מכונות אחרים, מסתמכים על מעבר נקודת הכניעה או מאמץ הכניעה כמצב כשל. לפיכך, אין צורך במנגנון בטיחות בעת השוואת עומסי הטעינה (העומסים הגבוהים ביותר הצפויים במהלך פעולה רגילה) לקריטריוני הכשל שהוצגו לעיל.

כניעה אופיינית וחוזק מרבי

חומר	חוזק לכניעה (MPa)	חוזק מרבי (MPa)	צפיפות (g/cm³)	אורך תמיכה עצמית (km)
ASTM A36 steel	250	400	7.87	3.2
Steel, API 5L X65	448	531	7.85	5.8
Steel, high strength alloy ASTM A514	690	760	7.85	9.0
Steel, prestressing strands	1650	1860	7.85	21.6
Piano wire		1740-3300	7.8	28.7
Carbon fiber (CF, CFK)		5650	1.75	329
High-density polyethylene (HDPE)	26–33	37	0.95	2.8
Polypropylene	12–43	19.7–80	0.91	1.3
Stainless steel AISI 302 – cold-rolled	520	860
Cast iron 4.5% C, ASTM A-48		172	7.20	2.4
Titanium alloy (6% Al, 4% V)	830	900	4.51	18.8
Aluminium alloy 2014-T6	400	455	2.7	15.1
Copper 99.9% Cu	70	220	8.92	0.8
Cupronickel 10% Ni, 1.6% Fe, 1% Mn, balance Cu	130	350	8.94	1.4
Brass	Approx. 200+	550	8.5	3.8
Spider silk	1150 (??)	1400	1.31	109
Silkworm silk	500			25
Aramid (Kevlar or Twaron)	3620	3757	1.44	256.3
UHMWPE	20	35	0.97	2.1
Bone (limb)	104–121	130		3
Nylon, type 6/6	45	75		2

ראו גם

• מודול האלסטיות
• מאמץ
• ריכוז מאמצים
• מאמץ מתיחה
• עקומת מאמץ מעוות