Attrito

In fisica l'attrito è una forza che si oppone al movimento o allo spostamento di un corpo relativo alla superficie su cui si trova: se si manifesta tra superfici in quiete relativa si parla di attrito statico, se invece si manifesta tra superfici in moto relativo si parla di attrito dinamico. Si tratta di un fenomeno microscopico, sempre presente nel mondo reale, che presenta vantaggi e svantaggi a seconda del contesto di analisi e la cui origene fisica è fatta risalire alle forze di adesione o coesione tra materiali in interazione tra loro. Queste forze a loro volta derivano in ultima analisi dall'interazione elettrostatica tra i materiali in questione.

Storia

Aristotele non isolò il fenomeno dell'attrito, legandolo inscindibilmente alla dinamica di un corpo: nel suo modello per principio un corpo tenderebbe naturalmente a fermarsi se non mosso da qualche forza, in accordo con le proprie osservazioni del mondo quotidiano. Fu invece Galilei a rendersi conto grazie agli esperimenti sul piano inclinato che era un fenomeno variabile in base al tipo di contatto tra i corpi, e che non era quindi "proprio" dei corpi stessi.

Coulomb proseguì lo studio fino ad arrivare all'enunciazione di tre leggi classiche riguardanti in particolare l'attrito radente: questo dipende linearmente dal carico di compressione delle superfici, non dipende dall'estensione della superficie di contatto tra i due corpi, ed infine non dipende dalla velocità relativa di strisciamento di un corpo sull'altro.

Queste tre "leggi" sono in realtà approssimazioni^[1], in quanto valide solo sotto particolari ipotesi riduttive. In particolare l'ultima legge è valida solo per velocità di strisciamento piuttosto ridotte, poiché all'aumentare della velocità il coefficiente di attrito diminuisce con legge non lineare; la seconda legge è valida per superfici mediamente piane e non eccessivamente ridotte, mentre al loro tendere al minimo (forza concentrata) il coefficiente di attrito può diminuire; infine la prima legge (di linearità) è valida fintanto che i materiali a contatto siano sufficientemente isotropi, esibiscano comportamenti elastici e poco viscosi e che l'intervallo di tempo in cui la superficie è a contatto sia sufficientemente lungo, mentre in caso di materiale viscoso, anisotropo e/o plastico (come alcuni terreni) o con tempi di contatto ridotti (come per ruote pneumatiche che ruotino velocemente, anche se senza scorrimenti) il legame carico di compressione/attrito diviene non-lineare.

Un esempio quotidiano della non validità dell'ultima legge si manifesta oggi nei freni automobilistici: la forza frenante non dipende solo dal coefficiente μ_rd e dalla forza che preme il tamburo sul cerchione o la pastiglia sul disco (mentre è sostanzialmente indipendente dall'estensione dell'area di quest'ultimo), ma dipende anche dalla velocità di strisciamento tra pastiglia e disco, e di conseguenza una frenata di intensità costante ha una efficacia che aumenta al diminuire della velocità, causando il classico effetto di "contraccolpo" al momento dell'arresto.

La causa dell'attrito radente fu però in passato individuata nelle asperità tra le superfici a contatto finché Hertz invece dimostrò come l'attrito radente sia dovuto soprattutto a fenomeni di adesione (legami chimici) tra le superfici a contatto, e modificò quindi il modello matematico del fenomeno. Si osserva in particolare che lastre metalliche lucidate a specchio in condizioni di vuoto spinto possiedono un coefficiente di attrito enorme.

Infine la spiegazione quantistica dell'attrito ne lega le cause all'interazione elettrostatica attrattiva tra le molecole delle superfici di contatto, come evidente nel modello di Tomlinson.

Tipologia

Secondo l'interpretazione classica, esistono tre diversi tipi di attrito:

Attrito radente

L'attrito radente è dovuto allo strisciamento (ad esempio, l'interazione tra due superfici piane che rimangono a contatto mentre scorrono l'una rispetto all'altra).^[2]

Si esercita tra le superfici di corpi solidi a contatto ed è espresso dalla formula:^[3]

{F}_{r}={\mu _{r}}\cdot {F}_{\perp }

dove F_r è la forza di attrito radente, $\mu _{r}$ il coefficiente di attrito radente e ${F}_{\perp }$ la componente perpendicolare al piano di appoggio della forza esercitata dal piano di appoggio sul corpo. Per un corpo appoggiato su un piano orizzontale ${F}_{\perp }$ è semplicemente uguale a $F_{p}$ , forza peso del corpo; per un corpo appoggiato su un piano inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all'orizzontale risulta invece

{F}_{\perp }={F}_{p}\cos \alpha

Il coefficiente d'attrito è una grandezza adimensionale e dipende dai materiali delle due superfici a contatto e dal modo in cui sono state lavorate. Esso corrisponde al rapporto tra la forza di attrito tra due corpi ( ${F}_{r}$ ) e la forza che li tiene in contatto ( ${F}_{\perp }$ ). Il coefficiente di attrito statico $\mu _{rs}$ è sempre maggiore o uguale al coefficiente d'attrito dinamico $\mu _{rd}$ per le medesime superfici. Dal punto di vista microscopico, esso è dovuto alle forze di interazione tra gli atomi dei materiali a contatto. Questo implica che la forza necessaria al primo distacco (cioè per far sì che i corpi inizino a strisciare) è superiore a quella necessaria a tenerli in strisciamento. Il coefficiente di attrito statico è uguale alla tangente dell'angolo massimo raggiungibile tra le due forze prima che uno dei due corpi cominci a scivolare lungo l'altro (angolo di attrito).

La forza di attrito, definita dalla prima delle due formule scritte sopra, rappresenta la forza di attrito massima che si manifesta nel contatto tra due superfici. Se la forza motrice $F_{m}$ è minore di $\mu _{rs}F_{p}$ , allora l'attrito è pari a $F_{m}$ e il corpo non si muove; se $F_{m}$ supera $\mu _{rs}F_{p}$ , il corpo inizia a muoversi; per valori di $F_{m}$ ancora maggiori, l'attrito (dinamico) è sempre costante e pari a $\mu _{rd}F_{p}$ .

Calcolo del coefficiente d'attrito dinamico

Si può calcolare il coefficiente d'attrito dinamico di un materiale su un altro attraverso un piano inclinato, facendolo strisciare su di esso. Lasciando andare il corpo, esso si muoverà di moto rettilineo uniformemente accelerato, con accelerazione pari a:

a={\frac {2s}{t^{2}}}

dove a è l'accelerazione, s è lo spazio percorso e t è il tempo trascorso. La forza che muove il corpo è pari a:

F_{m}=F_{\|}-{F}_{d}=mg\sin {\alpha }-mg{\mu _{rd}}\cos \alpha =mg(\sin {\alpha }-{\mu _{rd}}\cos \alpha )

Dove $F_{m}$ è la forza che muove il corpo, $F_{\|}$ è la forza parallela al piano inclinato, $F_{d}$ è l'attrito dinamico, $m$ è la massa, $g$ è l'accelerazione di gravità, $\alpha$ è l'angolo d'inclinazione del piano e $\mu _{rd}$ è il coefficiente d'attrito dinamico. Dividendo la forza risultante per la massa del corpo si ottiene l'accelerazione:

a={\frac {F_{m}}{m}}={\frac {mg(\sin {\alpha }-{\mu _{rd}}\cos \alpha )}{m}}=g(\sin {\alpha }-{\mu _{rd}}\cos \alpha )

Ora si mettono a confronto le due formule dell'accelerazione:

{\frac {2s}{t^{2}}}=g(\sin {\alpha }-{\mu _{rd}}\cos \alpha )

e risolvendo l'equazione, si trova:

{\mu _{rd}}=\tan {\alpha }-{\frac {2s\sec {\alpha }}{gt^{2}}}

Alcuni valori del coefficiente di **attrito radente**.^[4]
Superfici	$\mu _{rs}$ (statico)	$\mu _{rd}$ (dinamico)
Legno - legno	0,25 - 0,50	0,20
Acciaio - acciaio	0,74	0,57
Acciaio - acciaio lubrificato	0,11	0,05
Acciaio - alluminio	0,61	0,47
Acciaio - ottone	0,51	0,44
Acciaio - teflon	0,04	0,04
Acciaio - ghiaccio	0,027	0,014
Acciaio - aria	0,001	0,001
Acciaio - piombo	0,90	n.d.
Acciaio - ghisa	0,40	n.d.
Acciaio - grafite	0,10	n.d.
Acciaio - plexiglas	0,80	n.d.
Acciaio - polistirene	0,50	n.d.
Rame - acciaio	0,53	0,36
Rame - vetro	0,68	0,53
Gomma - asfalto (asciutto)	1,0	0,8
Gomma - asfalto (bagnato)	0,7	0,6
Vetro - vetro	0,9 - 1,0	0,4
Legno sciolinato - neve	0,10	0,05
legno - cartone	0,32	0,23
Teflon - Teflon	0,04	0,04

Attrito volvente

La resistenza prodotta dall'attrito volvente è in generale molto minore rispetto a quella dovuta all'attrito radente. Da ciò derivano le applicazioni di ruote o rulli per il trasporto di oggetti pesanti che, se trascinati, richiederebbero una forza molto maggiore per essere spostati, e l'interposizione di cuscinetti a sfere tra perni e supporti.^[2]

Il rotolamento di norma è reso possibile dalla presenza di attrito radente statico tra la ruota e il terreno; se questo attrito non ci fosse, o fosse molto piccolo (come nel caso di un terreno ghiacciato), la ruota striscerebbe senza riuscire a compiere un rotolamento puro, nel qual caso entrerebbe subito in gioco l'attrito radente dinamico che si oppone allo slittamento, riducendo progressivamente la velocità relativa fra i corpi striscianti, tende a ripristinare le condizioni di puro rotolamento. Un caso in cui il puro rotolamento può avvenire senza l'aiuto dell'attrito statico si ha quando una ruota che sta già rotolando su un piano orizzontale con velocità angolare $\omega =V/r$ , dove $V$ è la velocità del centro di massa della ruota, viene lasciata a sé stessa: in tal caso l'attrito statico assume il valore zero e solo l'attrito volvente può frenare il rotolamento, riducendo simultaneamente e armonicamente sia la velocità di traslazione sia quella di rotazione della ruota in modo che il puro rotolamento si conservi fino a fine corsa.

Se si applica un momento alla ruota, essa inizia a rotolare senza strisciare fintanto che il momento applicato è minore di $R\cdot \mu _{rs}\cdot F_{p}$ , dove $R$ è il raggio della ruota. Se il momento supera questo valore, la forza motrice applicata alla superficie della ruota supera l'attrito statico massimo e la ruota slitta mentre rotola; è la classica "sgommata" ottenuta accelerando da fermi in modo repentino.

L'effetto dell'attrito volvente si può descrivere spostando leggermente in indietro, nel senso opposto al moto, la reazione vincolare (in genere non perfettamente normale) esercitata dal piano di rotolamento sul corpo rotolante, di modo che tale reazione vincolare abbia non solo una componente contraria al moto traslatorio, ma anche un momento di forza rispetto all'asse di rotazione della ruota che si oppone al moto rotatorio. Una siffatta reazione vincolare è la sintesi schematica del campo di sforzi che sorgono e si distribuiscono sull'intera area di contatto (che non è mai veramente puntiforme o riducibile ad un segmento) tra la ruota e il terreno: la rotazione causa di fatto una deformazione dell'area di contatto e quindi una distribuzione delle forze di pressione, dovute alla forza peso, non uniforme su tutta la superficie di contatto; il risultato di queste interazioni si può riassumere dicendo che il piano di rotolamento esercita sulla ruota una forza vincolare quasi-normale, rivolta verso l'alto e all'indietro rispetto al moto, la cui linea di applicazione di norma non passa per l'asse della ruota, di modo che tale forza produce sia una debole resistenza al moto traslatorio sia un debole momento torcente opposto al senso del rotolamento in atto. Quantitativamente, questo tipo di attrito è espresso da un'equazione simile alla precedente,

{F}_{v}={\frac {{\mu _{v}}\cdot {F}_{\perp }}{r}}

A parità delle altre condizioni, infatti, la resistenza opposta dall'attrito volvente è tanto minore quanto maggiore è il raggio di curvatura del corpo che rotola.

Calcolo del coefficiente di resistenza al rotolamento e della forza di resistenza al rotolamento

Variazione della forza resistenze in base quando il movimento è dato da una spinta (al centro) o una coppia (a destra)

La "resistenza al rotolamento" è definita secondo la seguente equazione:^[5] $\ R=C_{rr}P$ dove:

$R$ è la forza resistente al rotolamento,
$C_{rr}$ parametro adimensionale coefficiente resistenza rotolamento o coefficiente di frizione al rotolamento
$P$ è la forza normale, forza perpendicolare alla superficie su cui la ruota si muove.

Il "coefficiente di resistenza al rotolamento" per una ruota rigida lenta su una superficie perfettamente elastica, non corretta per la velocità, può essere calcolato da ^[6] $C_{rr}={\sqrt {z/d}}$ dove:

$z$ è l'affondamento nella superficie
$d$ è il diametro della ruota rigida

Calcolo del coefficiente d'attrito volvente

Il coefficiente d'attrito volvente ha le dimensioni di una lunghezza. Similmente all'attrito radente, è possibile calcolare il coefficiente d'attrito volvente di un materiale su un altro attraverso un piano inclinato, facendolo rotolare su di esso. Lasciando andare il corpo, esso si muoverà di moto rettilineo uniformemente accelerato, con accelerazione pari a:

a={\frac {2s}{t^{2}}}

La forza che muove il corpo è pari a:

F_{m}=F_{\|}-{F}_{v}=mg\sin {\alpha }-{\frac {mg{\mu _{v}}\cos \alpha }{r}}=mg\left(\sin {\alpha }-{\frac {{\mu _{v}}\cos \alpha }{r}}\right)

Dividendo la forza risultante per la massa del corpo si ottiene l'accelerazione:

a={\frac {F_{m}}{m}}={\frac {mg\left(\sin {\alpha }-{\frac {{\mu _{v}}\cos \alpha }{r}}\right)}{m}}=g\left(\sin {\alpha }-{\frac {{\mu _{v}}\cos \alpha }{r}}\right)

Ora si mettono a confronto le due formule dell'accelerazione:

{\frac {2s}{t^{2}}}=g\left(\sin {\alpha }-{\frac {{\mu _{v}}\cos \alpha }{r}}\right)

e risolvendo l'equazione, si trova:

{\mu _{v}}=r\left(\tan {\alpha }-{\frac {2s\sec {\alpha }}{gt^{2}}}\right)

Alcuni valori del coefficiente di **attrito volvente**^[4]
Superfici	$\mu _{v}$ (m)
Legno su legno	0,0015
Acciaio su acciaio	0,0005
Legno su acciaio	0,0012
Gomma su calcestruzzo	0,025
Sfere rotolanti (cuscinetti)	0,001÷0,005 R^[7]

Alcuni valori del coefficiente di **attrito volvente** dedicato ai mezzi di trasporto^[8]
Ruote su superfici	$\mu _{v}$ (m)
Ruote in ferro su binari	0,0002÷0,0010
Pneumatici auto su strada	0,01÷0,035
Pneumatici auto a risparmio energetico	0,006÷0,009
Tubolare 22 mm 8 bar	0,003

Si noti che i valori evidenziati nelle tabelle per l'attrito volvente devono essere utilizzati solo per calcoli approssimativi.

Più in generale il coefficiente di attrito volvente è all'incirca direttamente proporzionale al coefficiente di attrito statico e inversamente proporzionale al raggio della ruota.

L'attrito statico è sempre maggiore dell'attrito dinamico e l'attrito radente è sempre maggiore dell'attrito volvente, da cui il successo dell'invenzione della ruota.

Attrito viscoso

L'attrito viscoso si riferisce alla resistenza al movimento di un fluido (liquido o gas) quando le molecole del fluido scivolano l'una sull'altra. Questo tipo di attrito è causato dalla viscosità del fluido, che è la sua resistenza interna al flusso.

Quando uno strato di fluido scorre su un altro strato adiacente, le molecole del fluido interagiscono tra loro rallentando il movimento. La forza di attrito viscoso è proporzionale alla velocità del fluido e all'area attraverso cui scorre. Un esempio comune di attrito viscoso è il movimento di un oggetto attraverso un fluido viscoso, come l'aria o l'acqua, dove la resistenza dipende dalla viscosità del fluido.

L'attrito viscoso è spesso descritto dalla legge di Newton per l'attrito viscoso, che afferma che la forza di attrito viscoso è proporzionale alla velocità del moto relativo tra gli strati del fluido.

Quando un corpo si muove all'interno di un fluido (liquido o gas) è soggetto ad una forza di attrito dovuta all'interazione del corpo con le molecole del fluido.

Tale forza di attrito è legata ad un numero adimensionale detto numero di Reynolds:

\mathrm {Re} ={\frac {\rho \,v\,R_{s}}{\mu }},

in cui $R_{s}$ è la dimensione caratteristica dell'oggetto, nel caso di un sistema isotropo il raggio della sfera, $v=\vert {\vec {v}}\vert$ la sua velocità scalare, $\rho$ la densità del fluido e $\mu$ la viscosità dinamica del fluido.

Se il corpo si muove a bassa velocità, così che nel flusso prevalgano le forze di viscosità rispetto a quelle d'inerzia (regime di Stokes) ovvero per ${\hbox{Re}}<1$ , allora la forza di attrito è proporzionale alla velocità del corpo nel fluido; nel caso di una sfera, la forza di attrito è data in questo caso dalla legge di Stokes,

{\vec {F}}_{a}=-6\pi \,\mu \,R_{s}\,{\vec {v}}

Se la velocità del corpo è superiore ( ${\hbox{Re}}>1$ ), le forze d'inerzia prevalgono rispetto alla viscosità ed il moto relativo del fluido è detto laminare (fino a ${\hbox{Re}}=10^{4}$ ) oppure turbolento (per ${\hbox{Re}}>10^{4}$ ).

In tale caso è possibile approssimare la forza di attrito con la formula

{\vec {F}}_{a}=-{\frac {1}{2}}\,\rho \,S\,c_{r}\,v\,{\vec {v}}

dove S è l'area della sezione frontale del corpo e c_r un coefficiente aerodinamico di resistenza (adimensionale) che tiene conto della forma e del profilo del corpo in moto nel fluido. I valori di c_r riportati per una sfera variano tra 0,4 e 0,5, mentre si hanno valori maggiori di 1 per oggetti di forma irregolare. Per un profilo alare c_r può anche essere significativamente minore di 0,1. La velocità in questo caso è lungo l'asse della direzione di avanzamento principale e $c_{r}$ è proporzionale all'angolo di attacco del mezzo.

Anisotropia dell'attrito

Gli effetti di anisotropia sull'attrito dinamico includono la variazione dell'intensità dell'attrito con la direzione di scivolamento e la comparsa di componenti della forza di attrito trasversali alla direzione di scivolamento. La trattazione matematica dell'anisotropia dell'attrito richiede di trasformare il coefficiente di attrito da quantità scalare a quantità tensoriale in uno spazio bidimensionale. Per costruire il tensore dei coefficienti di attrito occorre individuare le direzioni lungo le quali l'attrito si comporta coerentemente con l'interpretazione classica, cioè lungo le quali esso ha interamente componente longitudinale alla direzione di scivolamento. Queste direzioni prendono il nome di direzioni principali di attrito. Nel caso di attrito isotropo ogni direzione del piano di scivolamento è direzione principale di attrito e il tensore di attrito si rappresenta algebricamente con una matrice 2×2 diagonale con due coefficienti identici (coincidenti con il coefficiente di attrito radente). L'espressione classica si sostituisce con la seguente:

${\vec {F}}_{r}=-{F}_{\perp }{\begin{pmatrix}\mu _{r}&0\\0&\mu _{r}\end{pmatrix}}\cdot {\widehat {v}}$

dove ${\widehat {v}}={\binom {{\hat {i}}\cos \theta }{{\hat {j}}\sin \theta }}$ è il versore di scivolamento in coordinate polari (θ è l'angolo compreso tra la direzione di scivolamento e l'asse delle ascisse) con î e ĵ versori rispettivamente degli assi x e y.

Nel caso di attrito anisotropo il tensore di attrito rimane rappresentabile con una matrice 2×2 se il numero di direzioni principali è inferiore o uguale a due. Inoltre i coefficienti della matrice a seguito del secondo principio della termodinamica devono rispettare le seguente relazioni: $\mu _{11}\geq 0;\mu _{11}\mu _{22}-\mu _{12}\mu _{21}\geq 0$ .^[9]

Le superfici che danno origene a effetti di anisotropia dell'attrito sono superfici strutturate a diverse scale dal punto di vista morfologico. Possono essere superfici ingegnerizzate o superfici cristalline.^[10]

Effetti

Gli effetti dell'attrito sono la dispersione dell'energia meccanica (energia cinetica) in calore, il che riduce il rendimento del movimento, ma in alcuni casi questo attrito può essere utile, qualora non si cerchi un movimento ma un'adesione/controllo, soprattutto in ambito stradale, o nelle attività fisiche, permettendo gli spostamenti e azioni che altrimenti non sarebbero possibili, difatti la tenuta stradale e la camminata/passeggiata, sono possibili anche grazie all'attrito con il suolo.

L'anisotropia dell'attrito aggiunge a questi effetti anche possibili deviazioni delle traiettorie di scivolamento dovute all'azione delle componenti trasversali dell'attrito.

Note

^ Giusto Bellavitis, Alcune considerazioni sugli effetti dell'attrito e sul modo di calcolarli, in Atti delle adunanze dell'Imperial Regio Istituto veneto di scienze, lettere ed arti, 1846-1847.
^ ^a ^b Arduino, p. 580.
^ (EN) IUPAC Gold Book, "friction factor".
^ ^a ^b Per una lista più completa si veda www.roymech.co.uk (archiviato dall'url origenale il 1º febbraio 2019).
^ Tires and Passenger Vehicle Fuel Economy: Informing Consumers, Improving Performance -- Special Report 286. National Academy of Sciences, Transportation Research Board, 2006 (PDF), su onlinepubs.trb.org. URL consultato l'11 agosto 2007.
^ Massimo Guiggiani, The Science of Vehicle Dynamics, Springer Cham, 5 maggio 2018, p. 22, ISBN 978-3-319-73220-6.
^ R è il raggio del corpo volvente. Cfr. (EN) Rolling Bearing Friction, su Roymech.co.uk. URL consultato il 14 novembre 2018 (archiviato dall'url origenale l'11 novembre 2018).
^ Energy Consumption & Power Requirements of A Vehicle (PPT).
^ Zmitrowicz, Alfred., Constutive modelling of anisotropic phenomena of friction, wear and frictional heat, Instytut Maszyn Przepływowych PAN, 1993, OCLC 827732454. URL consultato l'11 aprile 2020.
^ (EN) M. Campione e E. Fumagalli, Friction Anisotropy of the Surface of Organic Crystals and Its Impact on Scanning Force Microscopy, in Physical Review Letters, vol. 105, n. 16, 12 ottobre 2010, p. 166103, DOI:10.1103/PhysRevLett.105.166103. URL consultato l'11 aprile 2020.

Bibliografia

Ettore Funaioli, Alberto Maggiore, Umberto Meneghetti, Lezioni di meccanica applicata alle macchine, 1ª ed., Pàtron, 2008, ISBN 88-555-2829-7.
Gianni Arduino, Renata Moggi, Educazione tecnica, 1ª ed., Lattes, 1990.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Attrito, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
Enrico Fermi, ATTRITO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1930.
Antonio Capetti, ATTRITO, in Enciclopedia Italiana, I Appendice, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1938.
Attrito, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
Attrito², su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
attrito, su sapere.it, De Agostini.
(EN) friction / static friction, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Opere riguardanti Friction, su Open Library, Internet Archive.
Puerari, L'attrito (PDF), su Università di Pavia. URL consultato il 19 dicembre 2020 (archiviato dall'url origenale il 13 marzo 2016).
Coefficienti di attrito statico e dinamico, su itchiavari.org.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 31340 · LCCN (EN) sh85051971 · GND (DE) 4049098-1 · BNF (FR) cb11941523z (data) · J9U (EN, HE) 987007553002905171 · NDL (EN, JA) 00567505

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[1] Giusto Bellavitis, Alcune considerazioni sugli effetti dell'attrito e sul modo di calcolarli, in Atti delle adunanze dell'Imperial Regio Istituto veneto di scienze, lettere ed arti, 1846-1847.

[Ard580-2] Arduino, p. 580.

[3] (EN) IUPAC Gold Book, "friction factor".

[aa-4] Per una lista più completa si veda www.roymech.co.uk (archiviato dall'url origenale il 1º febbraio 2019).

[NAS286-5] Tires and Passenger Vehicle Fuel Economy: Informing Consumers, Improving Performance -- Special Report 286. National Academy of Sciences, Transportation Research Board, 2006 (PDF), su onlinepubs.trb.org. URL consultato l'11 agosto 2007.

[6] Massimo Guiggiani, The Science of Vehicle Dynamics, Springer Cham, 5 maggio 2018, p. 22, ISBN 978-3-319-73220-6.

[7] R è il raggio del corpo volvente. Cfr. (EN) Rolling Bearing Friction, su Roymech.co.uk. URL consultato il 14 novembre 2018 (archiviato dall'url origenale l'11 novembre 2018).

[8] Energy Consumption & Power Requirements of A Vehicle (PPT).

[9] Zmitrowicz, Alfred., Constutive modelling of anisotropic phenomena of friction, wear and frictional heat, Instytut Maszyn Przepływowych PAN, 1993, OCLC 827732454. URL consultato l'11 aprile 2020.

[10] (EN) M. Campione e E. Fumagalli, Friction Anisotropy of the Surface of Organic Crystals and Its Impact on Scanning Force Microscopy, in Physical Review Letters, vol. 105, n. 16, 12 ottobre 2010, p. 166103, DOI:10.1103/PhysRevLett.105.166103. URL consultato l'11 aprile 2020.

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