지수 분포
확률 밀도 함수
누적 분포 함수
기호
Exponential(
1
/
λ
) or Exp(
1
/
λ
)
{\displaystyle {\mbox{Exponential(}}1/\lambda {\mbox{) or Exp(}}1/\lambda {\mbox{)}}}
매개변수
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
: 빈도
지지집합
x
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle x\in [0,\infty )}
확률 밀도
λ
e
−
λ
x
{\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}}
누적 분포
1
−
e
−
λ
x
{\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}
기댓값
1
λ
{\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}
중앙값
ln
2
λ
{\displaystyle {\frac {\ln 2}{\lambda }}}
최빈값
0
{\displaystyle 0}
분산
1
λ
2
{\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}
비대칭도
2
{\displaystyle 2}
첨도
6
{\displaystyle 6}
엔트로피
1
−
ln
λ
{\displaystyle 1-\ln \lambda }
적률생성함수
(
1
−
t
λ
)
−
1
{\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}}
특성함수
(
1
−
i
t
λ
)
−
1
{\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}}
지수분포 (指數分布, 영어 : exponential distribution )는 연속 확률 분포 의 일종이다. 사건이 서로 독립적일 때, 일정 시간 동안 발생하는 사건의 횟수가 푸아송 분포 를 따른다면, 다음 사건이 일어날 때까지 대기 시간은 지수분포를 따른다.[ 1] 이는 기하분포 와 유사한 측면이 있다.
지수분포의 확률 밀도 함수 는
f
(
x
;
λ
)
=
{
λ
e
−
λ
x
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
로 정의된다. 단위 계단 함수 를 이용해 정의하면,
f
(
x
;
λ
)
=
λ
e
−
λ
x
H
(
x
)
{\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}H(x)}
가 된다. 여기서 λ은 빈도를 나타내는 모수이며, 확률변수 X 는 [0, ∞)에서 정의된다.
지수분포의 누적 분포 함수 는
F
(
x
;
λ
)
=
{
1
−
e
−
λ
x
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
혹은
F
(
x
;
λ
)
=
(
1
−
e
−
λ
x
)
H
(
x
)
{\displaystyle F(x;\lambda )=(1-e^{-\lambda x})H(x)}
이다.
확률변수 X 가 빈도 λ 를 모수로 갖는 지수분포를 따른다면, 기댓값은
E(
X
)
=
1
λ
{\displaystyle {\mbox{E(}}X{\mbox{)}}={\frac {1}{\lambda }}}
으로 단위 시간당 사건이 λ 회 발생한다면, 사건 사이에 평균적으로 1/λ 시간만큼 기다릴 것이라는 것을 의미한다. 분산은
Var(
X
)
=
1
λ
2
{\displaystyle {\mbox{Var(}}X{\mbox{)}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}
이다.