Logica

Gregirii Reisch Margarita Philosophica (saeculo 16).

Logica est ars abstracta de relationibus inter propositiones. Logica classica vel Aristotelica complectitur de discernendo verum a falso, hoc est de verificatione veritatis propositionum. Logica nostrae aetatis in logicam mathematicam et in logicam philosophicam dividitur.

Nomen a Graeco λόγος derivatur, quod 'sermonem' vel 'argumentum' significat; ἡ λογικὴ τέχνη ergo est 'ars verborum' vel 'ars ratiocinationis'. Dialectica (quae pars trivii inter artes liberales mediaevales fuit), est logica in disputationibus adhibita.

Logica propositionum

Logica propositionalis logicam simplicissimam de propositionibus tractat, et de coniunctionibus earum. Sint P et Q propositiones; tunc possumus cernere utrum "P et Q," "P vel Q," "non P" verae propositiones sint annon. Mos est symbolis uti:

• P et Q: P ∧ Q, quae vera est si P vera est, et Q vera est
• P vel Q: P ∨ Q, quae vera est si P vera est, aut Q vera est, aut ambo
• non P: ¬ P, quae vera est si P falsa est

Deductio et syllogismus

Deductio est ratiocinatio ex axiomatibus. Syllogismus est forma simplicima deductionis. Partes syllogismi hae sunt: propositio, adsumptio, conclusio. Propositio et adsumptio sunt principia. Si verae sunt, et si forma syllogismi valida est, conclusio quoque vera est.

De generibus propositionum

Propositionum definitarum quattuor genera sunt. Genus A est affirmatio universalis: omnes R sunt P. Genus E est negatio unversalis: nullum R est P. Genus I est affirmatio particularis: aliquae R sunt P. Genus O est negatio particularis: aliquae R non sunt P. Exempla:

Omnes homines sunt mortales. -- propositio generis A

Nullus homo est angelus. -- propositio generis E

Sunt homines qui milites sint. -- propositio generis I: inter homines, sunt milites et fortasse sunt alii qui non sint milites

Sunt homines qui non sint milites. -- propositio generis O: inter homines, non omnes sunt milites; fortasse etiam nulli sunt milites

Propositio quae de uno modo homine, vel de una re, tractat est universalis: Cicero est mortalis est propositio generis A quia dicit Omnes homines qui sunt Cicero sunt mortales -- etiamsi copia hominum-qui-sunt-Cicero unum tantum elementum habet.

Quadratus ubi quattuor genera propositionum inter se opponunt. * Genus A: quilibet homo est albus. * Genus E: nullus homo est albus. * Genus I: quidam homo est albus. * Genus O: quidam homo non est albus.

In propositionibus generis A, subiectum R dicitur distributum, quod propositio de omnibus talibus rebus tractat. Praedicans P autem non distribuitur, quod propositio de omnibus talibus rebus non tractat. In propositionibus generis E, et subiectum R et praedicans P distributa sunt. In propositionibus generis I, nec subiectum R nec praedicans P distributum est. In propositionibus generis O, praedicans P distributus est, subiectum R non distributum est.

Definitio syllogismi

Syllogismus tres propositiones habet: propositio vel maior propositio; adsumptio vel minor propositio; et conclusio. Subiectum conclusionis est terminus minor syllogismi; praedicans conclusionis est terminus maior. Hoc est, conclusio dicit utrum Minor sit Maior annon. Propositio maior terminum maiorem continet; propositio minor vel adsumptio terminum minorem continet.

Hic est syllogismus, exempli gratia:

1. Omnes homines sunt mortales.

2. Cicero est homo.

Conclusio: Cicero ergo est mortalis.

Conclusio est propositio generis A ubi R = "Cicero" et P = "mortalem esse." Terminus maior syllogismi est "mortalem esse." Propositio maior hunc terminum habet: est propositio (1). Terminus minor est "Cicero"; propositio minor vel adsumptio est propositio (2), ubi terminum minorem invenimus. Tertius terminus est "terminus medius"; hoc in syllogismo est "hominem esse."

Schema huius syllogismi est ergo:

1. omnes H sunt M -- propositio maior, generis A

2. omnes C sunt H -- adsumptio, generis A

Conclusio: omnes C sunt M -- generis A

Validitas

Quomodo scimus utrum syllogismus validus sit? Regulae hae sunt:

1. Propositiones non ambo negativae sunt.

2. Si altera propositio sit negativa, conclusio esto negativa; si conclusio sit negativa, una propositio (vel maior vel minor) esto negativa. (Si ambo propositiones affirmativae sunt, igitur, conclusio quoque affirmativa erit.)

3. Terminus medius distribuatur saltem in una propositione.

4. Terminus quisque qui distribuatur in conclusione distributus esto in propositione.

Syllogismus noster supra validus est. (1) Propositiones sunt affirmativae, non ambo negativae. (2) Quod propositiones non sunt negativae, conclusio est affirmativa. (3) Terminus medius H distribuitur in propositione maiore. (4) Terminus minor C distribuitur in conclusione, et in adsumptione.

Hoc est exemplum syllogismi non validi:

1. Omnes homines sunt mortales.

2. Feles meus est mortalis.

Conclusio: Feles meus est homo.

Quare? Terminus medius ("mortalem esse") numquam distribuitur. Est praedicans propositionis maioris, generis A—sed in propositione generis A praedicans non distribuitur. Similiter, terminus medius est praedicans adsumptionis. Numquam ergo distribuitur: syllogismus regulam tertiam non consequitur.

Aliud exemplum:

1. Nullus feles est homo.

2. Sunt homines qui non sunt canes.

Conclusio: Nullus feles est canis.

Quamquam conclusio vera est, syllogismus non est validus --- regulam primam non consequitur, quod ambo propositiones negativae sunt.

Aliud:

1. Omnes homines sunt mortales.

2. Nullus feles est homo.

Conclusio: Nullus feles est mortalis.

Syllogismus non est validus quia regulam quartam non consequitur. Terminus maior, "mortalem esse," in conclusione distribuitur, quod conclusio est generis E, sed numquam in propositionibus distribuitur.

Figurae syllogismorum

Nullus angelus est mortalis.

Syllogismi conclusio semper et terminum minorem et terminum maiorem continet; terminus minor est subiectum conclusionis. Terminus medius in propositionibus apparet; potest esse vel subiectum vel predicans harum propositionum. Quattuor figurae exstant:

• Prima figura: terminus medius est subiectum propositionis, praedicans adsumptionis.
• Altera figura: terminus medius est predicans propositionis et adsumptionis.
• Tertia figura: terminus medius est subiectum propositionis et adsumptionis.
• Quarta figura: terminus medius est praedicans propositionis, subiectum adsumptionis.

Exempli gratia,

1. Omnes homines sunt mortales.

2. Cicero est homo.

Conclusio: Cicero ergo est mortalis.

Terminus medius est "hominem esse"; est subiectum propositionis (maioris) et praedicans adsumptionis (propositionis minoris). Hic est ergo syllogismus primae figurae.

Aliud:

1. Omnes homines sunt mortales.

2. Nullus angelus est mortalis.

Conclusio: Nullus angelus est homo.

Terminus medius nunc est "mortalem esse," quod praedicans est et maioris et minoris. Habemus ergo syllogismum secundae figurae.

Aliud:

1. Nullus angelus est mortalis.

2. Omnes angeli sunt boni.

Conclusio: Sunt boni qui non sunt mortales.

Propositio maioris est generis E cuius subiectum est terminus medius, "angelum esse." Adsumptio, generis A, terminum medium quoque subiectum habet. Conclusio est generis O et syllogismus est tertiae figurae.

Aliud:

1. Omnes homines sunt mortales.

2. Nullus mortalis est angelus.

Conclusio: Nullus homo est angelus.

Hoc in syllogismo terminus medius est "mortalem esse" quod praedicans est propositionis maioris, subiectum propositionis minoris. Est ergo syllogismus quartae formae.

Versus "Barbara celarent ..."

Versus est qui omnes syllogismos valides describit. Plures versiones exstant, inter quos hic:

Barbara, Celarent, Darii, Ferioque prioris;

Cesare, Camestres, Festino, Baroco secundae;

Tertia Darapti, Disamis, Datisi, Felapton,

Bocardo, Ferison habet. Quarta insuper addit

Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

Vocales verborum genera propositionum dant. Hoc est, barbara significat tres propositiones generis A, et ferio significat propositionem maiorem generis E, minorem generis I, conclusionem generis O. Cum regulis supra dictis de positione termini medii possumus omnes syllogismos cernere, utrum validi sint annon.

Exempli gratia,

1. Omnes homines sunt mortales.

2. Cicero est homo.

Conclusio: Cicero ergo est mortalis.

Hic syllogismus, ut iam videmus, validus est in figura prima: est barbara.

Aliud:

1. Omnes homines sunt mortales.

2. Feles meus est mortalis.

Conclusio: Feles meus est homo.

Ut iam videmus, hic non validus est (quod terminus medius numquam distribuitur). Terminus medius est praedicans amborum propositionum: syllogismus est ergo secundae figurae. Propositiones autem sunt generum A, A, A, quod non ad secundam figuram pertinet.

Gulielmus Sherwoodensis dicitur versum scripsisse; versio eius est fere:

Barbara celarent darii ferio baralipton

Celantes dabitis fapesmo frisesomorum;

Cesare campestres festino baroco; darapti

Felapton disamis datisi bocardo ferison

Logica mathematica

Logica mathematica est pars principalis fundamentorum mathematicae (aliae partes principales fundamentorum mathematicae sunt theoria copiarum, theoria exemplarum, theoria categoriarum, theoria facultatis calculandi). Logicae mathematicae motivatio est studium systematum deductivorum axiomatum ope formalium linguarum.

Historia

Aristoteles systema logicae Organon in libris de Analyticis (prioribus et posterioribus), de Interpretatione, de Categoriis enuntiavit.

Libri

Vide Summa logicae apud Vicifontem.

, Guillelmus de Ockham

• Tractatus Logico-Philosophicus, Ludwig Wittgenstein

Nexus interni

• Abstractio
• Argumentatio
• Demonstratio mathematica
• Dubium
• Elenchus
• Logica modalis
• Logica philosophica
• Scientia (ratio)

Bibliographia

• Barwise, Jon. 1977. Handbook of Mathematical Logic. Amstelodami: North Holland. ISBN 0-7204-2285-X.
• Bennett, Deborah J. 2004. Logic Made Easy: How to Know When Language Deceives You. Novi Eboraci: Norton. ISBN 0-393-05748-8.
• Curry, Haskell B. 1958. Combinatory Logic. Amstelodami: North Holland. ISBN 0-7204-2208-6.
• Curry, Haskell B. 1963. Foundations of Mathematical Logic. Novi Eboraci: McGraw-Hill. OCLC 526475.
• De Boer, Karin, et Ruth Sonderegger, edd. 2012. Conceptions of Critique in Modern and Contemporary Philosophy. Houndmills: Palgrave Macmillan. ISBN 978-0-230-24522-8.
• Doxiadis, Apostolos, et Barry Mazur. 2012. Circles Disturbed: The Interplay of Mathematics and Narrative. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14904-2.
• Manoscu, Paolo. 2010. The Adventure of Reason: Interplay between Philosophy of Mathematics and Mathematical Logic, 1900-1940. Oxonii: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954653-4.
• Mendelson, Elliott. 1964. Introduction to Mathematical Logic. Princeton: Van Nostrand. OCLC 259359.
• Patterson, Douglas. 2012. Alfred Tarski: Philosophy of Language and Logic. Houndmills: Palgrave Macmillan. ISBN 978-0-230-22121-5.
• Runkle, Gerald. 1978. Good Thinking: An Introduction to Logic. Novi Eboraci: Holt Rinehart and Winston. ISBN 0-03-023066-7.
• Styazhkin, N. I. 1969. History of Mathematical Logic from Leibniz to Peano, editio anglica. Cantabridgiae: MIT Press. ISBN 0-262-19057-5.
• Tieszen, Richard L. 2011. Phenomenology, Logic, and the Philosophy of Mathematics. Novi Eboraci: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83782-0.
• Turing, Alan M. 2001. Mathematical Logic. In serie Collected Works, R. O. Gandy et C. E. M. Yates, edd. Amstelodami et Novi Eboraci: Elsevier Science. ISBN 0-444-50423-0.

Nexus externi

• ASL, Societas Americana pro logica symbolica
• FoLLI, Societas Europaeana pro logica
• Logica apud PhilPapers
• Logic Museum
• De Syllogismis apud Quartz Hill School of Theology