Nombor kompleks

Sistem nombor matematik
Asas
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ Nombor asli $\mathbb {N}$ Nombor negatif $\mathbb {Z} ^{-}$ Integer $\mathbb {Z}$ Nombor nisbah $\mathbb {Q}$ Nombor bukan nisbah $\mathbb {Q} '$ Nombor nyata $\mathbb {R}$ Nombor khayalan $\mathbb {I}$ Nombor kompleks $\mathbb {C}$ Nombor algebra ${\overline {\mathbb {Q} }}$ Nombor transenden $\mathbb {T}$
Perluasan kompleks
Nombor dwikompleks Nombor hiperkompleks Kuaternion $\mathbb {H}$ Kokuaternion Bikuaternion Oktonion $\mathbb {O}$ Sedenion $\mathbb {S}$ Tesarina Hipernombor Nombor supernyata Nombor hipernyata Nombor sureal
Lain-lain
Nombor kompleks belah $\mathbb {R} ^{1,1}$ Nombor bersiri Nombor melampaui terhingga Nombor ordinal Nombor kardinal $\aleph _{n}$ Nombor perdana $\mathbb {P}$ Nombor p-adik Nombor boleh bina Nombor boleh kira Jujukan integer Pemalar matematik $x$ Nombor besar Pi $\pi$ Nombor Euler $e$ Unit khayalan $i$ Ketakterhinggaan $\infty$

Nombor kompleks ialah gabungan nombor nyata dan nombor khayalan. Nombor kompleks mempunyai bentuk $a+bi\,$ di mana $a$ dan $b$ ialah nombor nyata, dan $i$ ialah unit khayalan.

$z=a+bi$ | $a,b\in \mathbb {R}$

Secara terminologi, $a$ dikatakan sebagai bahagian nyata nombor manakala $b$ dikatakan sebagai bahagian khayalan nombor kompleks itu. Bahagian nyata ditandai dengan fungsi $\mathrm {Re} (z)$ atau ${\mathfrak {R}}(z)$ dan bahagian khayalan ditandai dengan fungsi $\mathrm {Im} (z)$ atau ${\mathfrak {I}}(z)$ .

$\mathrm {Re} (a+bi)={\mathfrak {R}}(a+bi)=a$ | $a,b\in \mathbb {R}$

$\mathrm {Im} (a+bi)={\mathfrak {I}}(a+bi)=b$ | $a,b\in \mathbb {R}$

Dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian-bahagian nyatanya sama dan bahagian-bahagian khayalannya sama. Maka;

$z_{1}=z_{2}\,\,\Leftrightarrow \,\,\mathrm {Re} (z_{1})=\mathrm {Re} (z_{2})\,\,\mathrm {dan} \,\,\mathrm {Im} (z_{1})=\mathrm {Im} (z_{2})$

Set bagi semua nombor kompleks diwakili dengan $\mathbb {C}$ .

$\mathbb {C} =\{a+bi\,|\,a,b\in \mathbb {R} \}$

Etimologi

Perkataan 'nombor kompleks' dikenalkan oleh Carl Friedrich Gauss.^[1] Perkataan "kompleks" itu sendiri mencerminkan idea untuk menggabungkan kedua-dua bahagian nyata dan khayalan.

Satah Cartes

Nombor kompleks boleh diplotkan atas satah Cartes.

Paksi- $x$ dilabelkan sebagai paksi nyata manakala paksi- $y$ dilabel sebagai paksi khayalan. Satah ini sekarang dekenali sebagai satah kompleks.

*$2i$* dan *$4i$* diplotkan atas satah kompleks.

Operasi Aritmetik atas Nombor nyata

Operasi aritmetik asas atas nombor kompleks boleh menghasilkan hasilan unik.

Penambahan dan Penolakan

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i$ ,

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(c-d)i$ ,

Di mana $a$ , $b$ , $c$ dan $d$ adalah nombor nyata.

Pendaraban dan Pembahagian

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(cb+ad)i$ ,

Di mana $a$ , $b$ , $c$ dan $d$ adalah nombor nyata.

$\,{\frac {a+bi}{c+di}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i,$

Di mana $a$ , $b$ , $c$ , $d$ adalah nombor nyata dan $c+di\neq 0$ .

Konjugat

Konjugat bagi suatu nombor kompleks $z=a+bi$ ditandai dengan $z'$ adalah nombor kompleks dimana tanda bahagian khayalan terbalik. Jadi;

$z=a\pm bi\Longrightarrow z'=a\mp bi$

Konjugat nombor kompleks $z$ juga ditandai dengan ${\overline {z}}$ .

Rumus-rumus Konjugat Kompleks

Tersebut adalah rumus-rumus konjugat nombor kompleks;

${\overline {({\overline {z}})}}=z$
$z_{1}\pm z_{2}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$
${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$
${\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\,\,{\overline {z_{2}}}$
${\overline {{\Bigl (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\Bigr )}}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$

Etimologi Konjugat

Konjugat datang daripada perkataan bahasa Latin 'coniugatus' yang datang dicantum dengan 'con' dan 'jugam' yang bermaksud 'bersama' dan 'terikat'.^[2]

Nilai Mutlak Nombor Kompleks

Nilai mutlak, modulus atau magnitud ditakrifkan sebagai jarak suatu nombor daripada 0. Mengikut definisi ini, nilai mutlak bagi suatu nombor kompleks $z$ ditakrifkan sebagai;

$|z|={\sqrt {\,\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}\,}}$

Ini serupa dengan teorem Pythagoras.

Dalam beberapa konteks, $|z|$ mungkin diwakili dengan huruf $r$ .

Bentuk Polar

Dalam rajah ini, **$\varphi$** adalah argumen bagi **$z$ .**

Bentuk polar (atau bentuk kutub) adalah bentuk nombor kompleks yang ditulis dalam argumen dan nilai mutlak manakala bentuk $a+bi\,$ bagi suatu nombor kompleks dikenali sebagai bentuk segi empat tepat. Ini adalah bentuk polar nombor kompleks $z$ ;

$z=r[\,\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )]$

Di mana $\theta$ adalah argumen, $r$ adalah nilai mutlak dan $\mathrm {sin} (x)$ dan $\mathrm {kos} (x)$ adalah fungsi trigonometrik. Dalam konteks analisis kompleks, argumen adalah sudut antara paksi nyata dan garisan daripada nombor kompleks, ia diwaklili dalam unit radian. Argumen bagi suatu nombor kompleks $z$ boleh ditulis dengan fungsi $\mathrm {Arg} (z)$ atau $\mathrm {arg} (z)$ .^[3]

$\mathrm {Arg} (z)=\mathrm {arg} (z)=\theta$

$\theta =\mathrm {arctan} {\Biggl (}{\frac {\mathrm {Im} \,z}{\mathrm {Re} \,z}}{\Biggr )}$

Ingat, bagi suatu nombor kompleks, terdapat infiniti argumen yang boleh didapati. Ia diwakili dalam bentuk $\theta +2\pi n$ di mana $n$ adalah suatu integer. Oleh sebab itu, untuk fungsi $\mathrm {Arg} (z)$ menjadi fungsi, ia ditakrifkan untuk mengoutputkan nilai antara $[-\pi ,\pi ]$ . Ini dipanggil argumen principal.^[4]

Juga, bentuk polar bagi nombor kompleks boleh ditulis seperti ini;

$z=re^{i\theta }$

Di mana $e$ adalah pemalar Euler, pemalar yang hampiri 2.718281828.

Bukti Bentuk Polar

Bentuk polar $e^{i\theta }$ boleh dibuktikan dengan kaedah yang mudah.

Pertama, bermula dengan Siri Taylor bagi fungsi sinus dan kosinus;

$\mathrm {sin} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots$

$\mathrm {kos} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots$

Sekarang, gantikan $x$ dengan $i\theta$ ;

$\mathrm {sin} (i\theta )=i\theta -{\frac {{(i\theta )}^{3}}{3!}}+{\frac {{(i\theta )}^{5}}{5!}}-{\frac {{(i\theta )}^{7}}{7!}}+{\frac {{(i\theta )}^{9}}{9!}}-\cdots$

$\,\,\,\,\,=i\theta +{\frac {i{\theta }^{3}}{3!}}-{\frac {i{\theta }^{5}}{5!}}+{\frac {i{\theta }^{7}}{7!}}-{\frac {i{\theta }^{9}}{9!}}+\cdots$

$\mathrm {kos} (i\theta )=1-{\frac {{(i\theta )}^{2}}{2!}}+{\frac {{(i\theta )}^{4}}{4!}}-{\frac {{(i\theta )}^{6}}{6!}}+{\frac {{(i\theta )}^{8}}{8!}}-\cdots$

$\,\,\,\,\,=1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots$

Gantikan terbitan tersebut dalam $\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )$ ;

$\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )$

$\,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )+i(i\theta +{\frac {i{\theta }^{3}}{3!}}-{\frac {i{\theta }^{5}}{5!}}+{\frac {i{\theta }^{7}}{7!}}-{\frac {i{\theta }^{9}}{9!}}+\cdots )$

$\,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )-\theta -{\frac {{\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{5}}{5!}}-{\frac {{\theta }^{7}}{7!}}+{\frac {{\theta }^{9}}{9!}}-\cdots$

Sambil ini, sediakan Siri Taylor bagi $e^{x}$ ;

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\cdots$

Gantikan $x$ dengan $i\theta$ dan menyusunkan terma tersebut;

$e^{i\theta }=1+i\theta +{\frac {{(i\theta )}^{2}}{2!}}+{\frac {{(i\theta )}^{3}}{3!}}+{\frac {{(i\theta )}^{4}}{4!}}+{\frac {{(i\theta )}^{5}}{5!}}\cdots$

$e^{i\theta }=1+i\theta -{\frac {{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {{i\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {{i\theta }^{5}}{5!}}\cdots$

$\,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )-\theta -{\frac {{\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{5}}{5!}}-{\frac {{\theta }^{7}}{7!}}+{\frac {{\theta }^{9}}{9!}}-\cdots$

Perhatikan bahawa $e^{i\theta }$ dan $\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )$ bersamaan dengan $\,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )-\theta -{\frac {{\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{5}}{5!}}-{\frac {{\theta }^{7}}{7!}}+{\frac {{\theta }^{9}}{9!}}-\cdots$ .

Maka;

$\therefore e^{i\theta }=\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )$

Ekstensi Domain Fungsi

Beberapa domain bagi beberapa fungsi asas boleh diperpanjangkan untuk menerima nombor kompleks.

Fungsi Trigonometrik

$\mathrm {sin} (z)={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$

$\mathrm {kos} (z)={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

$\mathrm {tan} (z)=-{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}i$

Fungsi Logaritma

Logaritma asli ialah logaritma yang mempunyai $e$ sebagai asasnya. Rumus logaritma asli yang mempunyai domain yang boleh menerima nombor kompleks adalah;

$\mathrm {ln} (z)=\mathrm {ln} (r)+i\theta$

Di mana $r$ adalah nilai mutlak $z$ dan $\theta$ ialah argumen bagi $z$ .

Dengan rumus ini, ekstensi domain logaritma asas $n$ boleh dirumuskan;

$\mathrm {log} _{n}(z)=\mathrm {log} _{n}(r)+{\frac {\theta }{\mathrm {ln} (n)}}i$

Di mana $n\in \mathbb {R} ^{+}$ , nombor positif nyata.

Aplikasi Nombor Kompleks

Matematik

Nombor kompleks merupakan konsep asas dalam bidang matematik. Nombor-nombor kompleks digunakan dalam banyak rumus dan teorem sepanjang bidang analisis kompleks, geometri, topologi, persamaan pembezaan dan sistem dinamikal.

Fizik

Dalam fizik, nombor kompleks digunakan dalam bidang seperti fizik kuantum.^[5] Antara contoh utama adalah persamaan Schrödinger;

$i{\bar {h}}{\frac {d}{dt}}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle$

Dalam perkataan Erwin Schrödinger,^[6]

"Apa yang tidak menyenangkan di sini, dan sememangnya perlu dibantah, adalah penggunaan nombor kompleks." - Erwin Schrödinger

Rujukan

^ Merino, Orlando (January 2006). "A Short History of Complex Numbers" (PDF). math.uri.edu.
^ "conjugate | Etymology of conjugate by etymonline". www.etymonline.com (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2024-11-30.
^ "Numeracy, Maths and Statistics - Academic Skills Kit". www.ncl.ac.uk. Dicapai pada 2024-11-30.
^ "Modulus and Argument" (PDF).
^ "Complex Numbers and their Applications". www.ukessays.com (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2024-11-30.
^ Wood, Charlie (2021-03-03). "Imaginary Numbers May Be Essential for Describing Reality". Quanta Magazine (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2024-11-30.

[1] Merino, Orlando (January 2006). "A Short History of Complex Numbers" (PDF). math.uri.edu.

[2] "conjugate | Etymology of conjugate by etymonline". www.etymonline.com (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2024-11-30.

[3] "Numeracy, Maths and Statistics - Academic Skills Kit". www.ncl.ac.uk. Dicapai pada 2024-11-30.

[4] "Modulus and Argument" (PDF).

[5] "Complex Numbers and their Applications". www.ukessays.com (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2024-11-30.

[6] Wood, Charlie (2021-03-03). "Imaginary Numbers May Be Essential for Describing Reality". Quanta Magazine (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2024-11-30.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]