Kategoria (matematyka)

Kategoria – pojęcie wyodrębniające pewne algebraiczne własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu, np. zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp. Zakłada się, że taka rodzina zawiera odwzorowanie tożsamościowe i jest zamknięta ze względu na wykonywanie superpozycji (iloczynu) odwzorowań. Teoria kategorii jest działem matematyki zapoczątkowanym w 1945 przez Eilenberga i Mac Lane’a 

Definicja

Formalnie każda kategoria ${\mathfrak {K}}$ składa się z dwóch klas:

• klasy $Ob{\mathfrak {K}},$ której elementy nazywamy obiektami kategorii ${\mathfrak {K}},$
• klasy $Mor{\mathfrak {K}},$ której elementy nazywamy morfizmami (lub strzałkami) kategorii ${\mathfrak {K}},$ przy czym spełnione mają być następujące warunki:
  • każdej parze uporządkowanej $\langle A,B\rangle$ dwóch obiektów $A,B$ przyporządkowana jest klasa $Mor(A,B)$ morfizmów z $A$ do $B,$ oznaczana też czasem $H_{\mathfrak {K}}(A,B),$ $\mathrm {Hom} (A,B)$ lub ${\mathfrak {K}}(A,B).$ Jeżeli $f\in Mor(A,B),$ to obiekt $A$ nazywamy początkiem lub dziedziną morfizmu $f,$ a $B$ – jego końcem lub kodziedziną; zamiast $f\in Mor(A,B)$ pisze się też $f\colon A\to B,$
  • każdy morfizm $f$ należy do tylko jednej klasy $Mor(A,B),$
  • w klasie $Mor{\mathfrak {K}}$ określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów $f\colon A\to B,$ $g\colon C\to D$ jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy $B=C;$ gdy warunek ten jest spełniony, iloczyn do zbioru $Mor(A,D).$ Nazywamy go złożeniem morfizmów $f$ i $g$ oraz oznaczamy $g\circ f$ lub $gf.$
  • złożenie morfizmów jest łączne: jeżeli $f\colon A\to B,$ $g\colon B\to C$ oraz $h\colon C\to D,$ to wówczas $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f,$
  • do każdego $Mor(A,A)$ należy taki morfizm $\mathrm {id} _{A},$ że dla dowolnych morfizmów $f\colon X\to A$ i $g\colon A\to Y$ mamy $f=id_{A}\circ f$ oraz $g=g\circ id_{A}.$ Morfizmy $\mathrm {id} _{A}$ nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.

Z aksjomatów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli $f\in \operatorname {Mor} (A,B),$ to piszemy $A=\operatorname {dom} (f)$ i $B=\operatorname {cod} (f).$

Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

Jeżeli dla każdych obiektów $A,B$ klasa $\operatorname {Mor} (A,B)$ jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.

Przykłady

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty, morfizmy i regułę składania morfizmów.

• Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensemble). Jej obiektami są zbiory, a morfizmami są odwzorowania ze zbioru w zbiór. $Hom_{Set}(A,B)$ jest zbiorem odwzorowań zbioru $A$ w zbiór $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań.
• Kategoria Gr (niekiedy Grp), której obiektami są grupy, a morfizmami homomorfizmy. $Hom_{Gr}(A,B)$ jest zbiorem homomorfizmów grupy $A$ w grupę $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
• Kategoria Ab, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy są ich homomorfizmami. $Hom_{Ab}(A,B)$ jest zbiorem homomorfizmów grupy $A$ w grupę $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
• Kategoria Vect_K, której obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem $K,$ a morfizmy są odwzorowaniami $K$-liniowymi. $Hom_{Vect_{K}}(A,B)$ jest zbiorem odwzorowań liniowych przestrzeni $A$ w przestrzeń $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań liniowych.
• Kategoria Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami – odwzorowania nierozszerzające. $Hom_{Metr}(A,B)$ jest zbiorem odwzorowań nierozszerzających przestrzeni $A$ w przestrzeń $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań nierozszerzających.
• Kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe. $Hom_{Top}(A,B)$ jest zbiorem przekształceń ciągłych przestrzeni $A$ w przestrzeń $B.$ Złożeniem morfizmów jest złożenie przekształceń.
• Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
• Kategoria Rel Ens relacji dwuargumentowych (binarnych) na zbiorach; klasa obiektów tej kategorii pokrywa się z klasą ObEns, a morfizmami ze zbioru $A$ w zbiór $B$ są wszystkie relacje dwuargumentowe między tymi zbiorami, tzn. podzbiory zbioru $A\times B;$ złożenie morfizmów jest składaniem relacji.
• Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponadto dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu) $x,\ y$ istnieje morfizm z $x$ do $y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\leqslant y.$ Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu $x,$ a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
• Każdy monoid można traktować jako kategorię z dokładnie jednym obiektem, przy czym morfizmy odpowiadają elementom monoidu.

Do każdej kategorii ${\mathfrak {K}}$ można utworzyć jej kategorię dualną ${\mathfrak {K}}^{\mathrm {op} }.$

Zobacz też

• epimorfizm
• funktor (teoria kategorii)
• izomorfizm
• inwolucja
• monomorfizm
• morfizm zerowy
• obiekt (teoria kategorii)
• obiekty początkowy i końcowy
• teoria kategorii
• transformacja naturalna

Bibliografia

• Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 58, s. 231–294, 1945. Amer. Math. Soc.. 

Literatura dodatkowa

Polskojęzyczna

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6. Brak numerów stron w książce
• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45. Brak numerów stron w książce

Obcojęzyczna

• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5. Brak numerów stron w książce
• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW [dostęp 2021-08-08].
• Category (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
• Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).