Spojitá funkcia

Spojitá funkcia je pojem z matematickej analýzy, ktorý označuje takú funkciu, že pri veľmi malej zmene hodnoty $x$ sa funkčná hodnota $f(x)$ zmení veľmi málo. Za istej dodatočnej okolnosti si definíciu spojitosti možno čiastočne preložiť jednoduchou predstavou, že graf spojitej funkcie sa nikde nepretrhne, respektíve sa dá nakresliť súvislou čiarou. Dodatočnou okolnosťou k tejto predstave je, že definičný obor funkcie musí byť interval. Všetky základné elementárne matematické funkcie sú spojité.

Definícia

Hovoríme, že funkcia $f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ je spojitá v bode $a$, ak platí

$\forall O(f(a))\exists O(a)\forall x\in O(a)\cap D(f):f(x)\in O(f(a))$

Ekvivalentná definícia znie, že funkcia $f$ je v bode $a$ spojitá ak pre každé kladné $\varepsilon$ existuje kladné $\delta$, že pre všetky $x$ z definičného oboru funkcie $f$, pre ktoré $|x-a|<\delta$ platí, že $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Pojem spojitosti možno zaviesť aj pre funkcie ktorých definičný obor a obor hodnôt sú odlišné od reálnych čísel. Vyžaduje sa pri tom len dodatočná štruktúra, ktorá umožňuje hovoriť o nejakej blízkosti resp. vzdialenosti bodov. Pojem spojitosti sa priamočiaro zovšeobecňuje na funkcie zobrazujúce metrický priestor do metrického priestoru. Ak $(X,d_{X}),(Y,d_{Y})$ sú metrické priestory a $f:\ X\to Y$ tak hovoríme, že $f$ je spojitá v bode $a\in X$, ak je pravda $\forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ d_{X}(x,a)<\delta \ \Rightarrow \ d_{Y}(f(a),f(x))<\epsilon$.

Ešte všeobecnejšie hovoríme o spojitosti pre zobrazenie topologických priestorov.

Definícia pomocou limity

Pomocou pojmu limita možno spojitosť funkcie definovať takto. Funkcia $f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ je spojitá v bode $a$ práve vtedy keď

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a).$

A obdobne v každom metrickom priestore.

Vlastnosti spojitých funkcií z $\mathbb {R}$ do $\mathbb {R}$

• Ak je funkcia $f:\ [a,b]\to \mathbb {R}$ spojitá ($[a,b]$ je uzavretý interval) a číslo $r$ leží medzi hodnotami $f(a),\ f(b)$, tak existuje číslo $c:\ c\in [a,b]$ také, že $r=f(c)$. Toto tvrdenie má široké uplatnenie v numerických metódach riešenia rovníc. Napríklad funkcia $f(x)=e^{x}+2x^{3}$ má hodnoty $f(0)=1,\ f(-1)=1/e-2<0$. Takže vieme, že niekde v intervale $(-1,0)$ existuje číslo $c$ také, že $e^{c}+2c^{3}=0$ .

• Spojitá funkcia $f:\ [a,b]\to \mathbb {R}$ je ohraničená a nadobúda maximálnu a minimálnu hodnotu. V tomto tvrdení nemožno uzavretý interval nahradiť (polo)otvoreným. Napríklad funkcia $(0,1)\ni x\mapsto x$ je spojitá, je aj ohraničená, ale nenadobúda minimum ani maximum. A zase funkcia $(0,1)\ni x\mapsto 1/x$ je spojitá ale nie je ani ohraničená.

Princíp spojitého rozšírenia

Nech funkcie $f$ a $g$ sú spojité funkcie (zľava, resp. zprava spojité) v bode $a$. Ak v každom okolí (resp. v ľavom, pravom okolí) bodu $a$ existuje bod $x\neq a$ taký, že $f(x)=g(x)$, potom $f(a)=g(a)$

Weierstrassova veta o ohraničenosti spojitej funkcie

Ak funkcia $f$ je spojitá na $[a,b]$ potom $f$ je ohraničená na $[a,b]$.

Weierstrassova veta o maxime a minime spojitej funkcie

Ak funkcia je spojitá na $[a,b]$ potom $\exists c_{1},c_{2}\in [a,b]$ také, že $f(c_{1})\leq f(x)\leq f(c_{2})$, pre $\forall x\in [a,b]$

Nespojité funkcie

Ak funkcia nie je v niektorom bode svojho definičného oboru spojitá, tak hovoríme, že je nespojitá, resp. že má v danom bode bod nespojitosti. Poznamenajme, že nanpríklad funkcia $x\mapsto 1/x$ je na svojom definičnom obore spojitá funkcia v zmysle definície. Práve tento príklad ukazuje na nedokonalosť definície spojitej funkcie cez možnosť nakresliť súvisle jej graf. Príkladom nespojitej funkcie je funkcia signum - je nespojitá v bode 0. Platí pre ňu

$\operatorname {sgn}(0)=0,\ \lim _{x\to 0^{-}}\operatorname {sgn}(x)=-1,\ \lim _{x\to 0^{+}}\operatorname {sgn}(x)=+1.$

Iný známy príklad je takzvaná Dirichletova funkcia, ktorá priraďuje racionálnemu číslu hodnotu 1 a iracionálnemu hodnotu 0:

$\chi (x)=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\textrm {ak}}\quad x\in \mathbb {Q} \\0\quad {\textrm {ak}}\quad x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{array}}\right.$

Táto funkcia je nespojitá v každom reálnom čísle.