Zlata spirala

Zlate spirale so samopodobne. Njihova oblika se pri spreminjanju merila neskončnokrat ponavlja.

Zlata spirala je ravninska krivulja, ki se jo v polarnem koordinatnem sistemu (r, θ) opiše z enačbo:

$r=f(\theta )=\phi ^{\theta \over \pi /2}\qquad (1)\!\,,$

kjer sta $\phi \,$ število zlatega reza (zlato razmerje) in $\pi \,$ Ludolfovo število.

Konstrukcijo zlate spirale se približno izvede v zlatem pravokotniku s pomočjo četrtinskih lokov včrtanih krožnic v posamezna polja zlatega pravokotnika. Razdelitev zlatega pravokotnika na takšna polja prikazuje Slika 1:

Slika 1: Zlatorezna polja v zlatem pravokotniku

Včrtavanje četrtinskih lokov krožnic znotraj zlatoreznih polj kaže Slika 2:

Slika 2: Včrtavanje četrtinskih lokov krožnic

Polmeri lokov predstavljajo padajoče geometrijsko zaporedje s količnikom, enakim obratni vrednosti zlatega razmerja

$\varphi ={\frac {1}{\phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\qquad (2)\!\,,$

oblike

$r_{n}=r_{1}\varphi ^{n-1}\qquad (3)\!\,.$

Zlata spirala spada v družino logaritemskih spiral (predlog za ime logaritemska spirala je podal francoski matematik Pierre Varignon (1645–1722)). Pomembna značilnost logaritemskih spiral je, da kot, ki ga tangenta na spiralo v poljubni točki oklepa z radijvektorjem, ostaja konstanten. Tako se lahko logaritemske spirale imenuje tudi enakokotne spirale (Slika 3).

Slika 3: Enakokotna spirala

Poleg Enačbe 1 je za zlato spiralo izpeljanih še več enačb, med njimi je zelo uporabna Sharpova:

$r=\left({1+2k\sin \left({\frac {4\phi }{3}}\right)}\right)ae^{k\theta }\qquad (4)\!\,,$

kjer je:

$k={\frac {2\ln \phi }{3\pi }}\qquad (5)\!\,.$

Točka, ki predstavlja začetek zlate spirale (bolje rečeno njeno stekališče), ima koordinati:

$S\left({\frac {1+3\phi }{5}}e,{\frac {3-\phi }{5}}e\right)\qquad (6)\!\,,$

kjer je e poljubno izbrana enota za višino zlati spirali očrtanega zlatega pravokotnika.

Poleg omenjene konstrukcije zlate spirale znotraj zlatega pravokotnika so znane še druge, alternativne konstrukcije zlate spirale, denimo v zlatem trikotniku, zlatem petkotniku in podobne. Obstaja še konstrukcija velike zlate spirale s pomočjo tričetrtinskih krožnih lokov na zlatem pravokotniku. To prikazuje Slika 5.

Slika 5: Velika zlata spirala

Glej tudi

• zlati pravokotnik
• zlato razmerje
• število zlatega reza
• zlati kot
• Fibonaccijevo število
• seznam spiral

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Golden Spiral«. MathWorld.