线性近似

在数学中，线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数。

例如，有一个实数变量的可导函数 f，根据 n=1 的泰勒公式

f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}

其中 $R_{2}$ 是余数。舍去余数就是线性近似：

f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)

当 x 无限接近于 a 的时候这个等式成立。右侧的表示是 f 在点 (a, f(a)) 处的切线，因此这个过程也叫作切线近似。

我们也可以对以向量作为变量的向量函数作线性近似，这时在该点的导数用雅可比矩阵代替。例如，一个有实数变量的可导函数 $f(x,y)$ ，可以用函数 $f(x,y)$ 在接近 $(a,b)$ 的 $(x,y)$ 点处的值来近似

f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).

方程右侧是 $z=f(x,y)$ 在点 $(a,b).$ 处的平面切线。

在更具普遍意义的巴拿赫空间上，

f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)

其中 $Df(a)$ 是函数 $f$ 在 $a$ 处的 Fréchet 导数。

例子

可以通过下面的过程求得 ${\sqrt[{3}]{25}}$ 的值。