디니 정리

미적분학에서, 디니 정리(Dini's theorem)는 콤팩트 공간 위에 정의된 실수 값 연속 함수들의 단조수열이 연속 함수로 점별 수렴한다면, 균등 수렴한다는 정리이다.

정의

$K$에서 정의된 실함수열 $\{f_{n}(x)\}$이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

• $K$는 $\mathbb {R}$의 컴팩트 부분집합이다. (즉, 하이네-보렐 정리에 의해 $K$는 유계인 닫힌집합이다.)
• $\{f_{n}(x)\}$은 단조(즉, 증가거나 감소)인 연속함수열이다. (i.e., $\forall x\in K,\forall n\in \mathbb {N} ,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ $\lor$ $f_{n}(x)\geq f_{n+1}(x)$)
• $f_{n}$이 $K$에서 연속인 (극한)함수 $f:K\rightarrow \mathbb {R}$로 점별 수렴한다. (i.e, $\exists$ continuous function $f:K\rightarrow \mathbb {R}$ such that $f_{n}\rightarrow f$ on $K$)

그렇다면, $\{f_{n}(x)\}$이 $K$에서 $f$로 균등 수렴한다. 즉,

${\textstyle f_{n}\rightrightarrows f}$ on $K$

이다.

증명

일반성을 잃지 않고, $\{f_{n}(x)\}$이 증가하는 연속함수열이라 하자. (만약 $\{f_{n}(x)\}$이 감소하는 연속함수열이라면 함수의 부호를 바꿔서 생각하면 된다.) 함수 $g_{n}:K\rightarrow \mathbb {R}$을 $g_{n}=f-f_{n}$이라 정의하자. 조건에 의해 $f$와 $f_{n}$는 연속함수이므로 $g_{n}$도 연속함수이다.

먼저, 집합 ${\mathcal {O}}_{n}$을 ${\mathcal {O}}_{n}=\left\{x\in K:g_{n}(x)<\epsilon \right\}$이라 정의하자. 집합 ${\mathcal {O}}_{n}$의 정의에 의해 ${\mathcal {O}}_{n}=g^{-1}(-\infty ,\epsilon )$임을 알 수 있다. 또한 $(-\infty ,\epsilon )$는 $\mathbb {R}$에서 열린집합이고 $g_{n}$이 연속함수이므로 $(-\infty ,\epsilon )$의 역상 ${\mathcal {O}}_{n}=g^{-1}(-\infty ,\epsilon )$은 $K$에서 열린집합이다.

이제 $K\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {O}}_{i}$임을 보이기 위해 $x\in K$라 하자. 조건에 의해 $f_{n}$이 $K$에서 연속인 극한함수 $f:K\rightarrow \mathbb {R}$로 점별 수렴하므로, $f_{n}(x)\rightarrow f(x)$이다. 따라서, $n\geq N$일 때 $\left\vert f_{n}(x)-f(x)\right\vert <\epsilon$이 되도록 하는 양의 정수 $N$이 존재한다. $g_{n}$과 ${\mathcal {O}}_{n}$의 정의에 의해 $x\in$ ${\mathcal {O}}_{N}$임을 알 수 있으므로 $x\in$ $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {O}}_{i}$이 성립한다.

따라서, 집합족 ${\mathcal {C}}$를 ${\mathcal {C}}=\left\{{\mathcal {O}}_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}$이라 정의하면 ${\mathcal {C}}$는 $K$의 열린덮개가 된다. $K$는 조건에 의해 콤팩트이므로 ${\mathcal {C}}$의 유한 열린 부분 덮개 ${\mathcal {C'}}=\left\{{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2},\cdots ,{\mathcal {O}}_{m}\right\}$이 존재하여 $K\subseteq \bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}$이다. 특히 임의의 양의 정수 $n$에 대해 ${\mathcal {O}}_{n}\subseteq K$이므로, $\bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}\subseteq K$이다. 따라서, $K=\bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}$이다. 또한 ${\mathcal {O}}_{n}$$\subseteq {\mathcal {O}}_{n+1}$임을 알 수 있으므로, 양의 정수 $M=\mathrm {max} \left\{{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2},\cdots ,{\mathcal {O}}_{m}\right\}$에 대하여 $K={\mathcal {O}}_{M}$이다.

이제, 본격적으로 증명을 마무리하면 다음과 같다. 임의의 $\epsilon >0$에 대하여 $n\geq M$이고 $x\in K$라고 하자. 그러면 $x\in K={\mathcal {O}}_{M}\subseteq {\mathcal {O}}_{n}$이므로 $f(x)-f_{n}(x)<\epsilon$이다. 또한 가정에 의해 $\{f_{n}(x)\}$이 증가하는 연속함수열이므로, $0\leq f(x)-f_{n}(x)<\epsilon$ 임을 알 수 있다. 따라서 $\left\vert f_{n}(x)-f(x)\right\vert <\epsilon$이다. 즉, $\{f_{n}(x)\}$이 $K$에서 $f$로 균등 수렴한다.