Twierdzenie Diniego

Twierdzenie Diniego – kryterium badania zbieżności jednostajnej ciągów funkcyjnych funkcji rzeczywistych.

Twierdzenie

Niech $D\subseteq \mathbb {R}$ będzie zbiorem zwartym (np. przedziałem domkniętym), $f_{n},f\colon D\to \mathbb {R}$ będą funkcjami ciągłymi i $n\in \mathbb {N} .$ Jeśli

1. ciąg $f_{n}$ jest monotoniczny,
2. ciąg $f_{n}$ jest punktowo zbieżny do $f,$

to jest jednostajnie zbieżny do $f.$

Uogólnienia

• Niech $(X,d)$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią metryczną. $f_{n},f\colon X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$ będą ciągłe. Jeśli ciąg $f_{n}$ jest monotonicznie malejący i punktowo zbieżny do $f,$ to jest niemal jednostajnie zbieżny do $f.$
• Niech $X$ będzie zwartą przestrzenią topologiczną i niech $f_{n}$ będzie monotonicznie rosnącym ciągiem funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych, punktowo zbieżnym do ciągłej funkcji $f\colon X\to \mathbb {R} .$ Wówczas ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do $f.$

Zobacz też

• Ulisse Dini

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce