Lo spazio delle successioni a p-esima potenza sommabile è inoltre detto spazio. In particolare, lo spazio l2 delle successioni a quadrato sommabile rappresenta un caso di notevole importanza.
Lo spazio delle funzioni misurabili con norma finita, indicato anche come , o solo risulta essere, per le suddette proprietà della norma , uno spazio vettoriale reale.[1] Le funzioni in si dicono a p-esima potenza sommabile.[2] In particolare, dalla disuguaglianza triangolare segue che la somma di due o più funzioni -sommabili è ancora -sommabile. A rigore, la norma è una seminorma a causa della presenza di funzioni nulle quasi ovunque. Per rendere una norma si definisce se , cioè due funzioni sono equivalenti se sono uguali quasi ovunque. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una norma a tutti gli effetti. Questo spazio normato è lo spazio . Poiché tale norma risulta essere completa, esso è inoltre uno spazio di Banach.
Gli spazi possono essere definiti anche prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso lo spazio può essere indicato con . Una generalizzazione più accentuata considera funzioni a valori in un generico spazio di Banach . In tal caso, la norma p-esima è definita come
dove l'integranda è la potenza p-esima della norma dello spazio . Similmente, si generalizza la norma del sup essenziale.
Consideriamo lo spazio di misura , con la misura del conteggio. Si denota con lo spazio associato a tale spazio di misura, ovvero l'insieme delle successioni tali che
Vi sono tre casi particolarmente importanti:
è lo spazio delle successioni la cui serie converge assolutamente;
Usando la notazione di Dirac, tale isomorfismo canonico associa a il funzionale
Poiché la relazione è simmetrica allora è uno spazio riflessivo: il duale continuo del duale continuo di , detto spazio biduale, è isometrico a .
Per il duale di è isomorfo a nel caso in cui sia uno spazio -finito. Non è valido il viceversa: il duale di è uno spazio vettoriale "più grande" di e per questo motivo non è riflessivo. Ad esempio, sia l'immersione canonica di nel duale di . Osserviamo che l'applicazione , con , appartiene al duale continuo di . Supponiamo, per assurdo, che esista una funzione tale che per ogni . Notiamo che per ogni
Tuttavia, per il teorema della convergenza dominata
Si ottiene così un assurdo.
Il duale di è uno spazio un po' più difficile da definire. Si dimostra che se è uno spazio di misura allora il duale di è isomorfo allo spazio di tutte le misure finitamente additive e assolutamente continue rispetto a .
Rispetto alla misura di Lebesgue lo spazio , con , è separabile. Ad esempio, se è una base numerabile di allora un suo sottoinsieme numerabile denso è costituito dall'insieme delle funzioni del tipo
con e .
Lo spazio non è invece separabile in nessun caso se la cardinalità di è infinita.
Si può provare, sfruttando la disuguaglianza di Hölder, che se la misura di è finita allora al crescere di lo spazio "decresce", ovvero per ogni . Infatti se allora
mentre se allora per Hölder
Per esempio, la funzione
appartiene per ogni . Segue inoltre, dalle disuguaglianze sopra esibite, che l'inclusione di in è una funzione continua.