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- In geometry, an affine plane is a system of points and lines that satisfy the following axioms:
* Any two distinct points lie on a unique line.
* Given any line and any point not on that line there is a unique line which contains the point and does not meet the given line. (Playfair's axiom)
* There exist three non-collinear points (points not on a single line). In an affine plane, two lines are called parallel if they are equal or disjoint. Using this definition, Playfair's axiom above can be replaced by:
* Given a point and a line, there is a unique line which contains the point and is parallel to the line. Parallelism is an equivalence relation on the lines of an affine plane. Since no concepts other than those involving the relationship between points and lines are involved in the axioms, an affine plane is an object of study belonging to incidence geometry. They are non-degenerate linear spaces satisfying Playfair's axiom. The familiar Euclidean plane is an affine plane. There are many finite and infinite affine planes. As well as affine planes over fields (and division rings), there are also many non-Desarguesian planes, not derived from coordinates in a division ring, satisfying these axioms. The Moulton plane is an example of one of these. (en)
- Eine affine Ebene ist in der synthetischen Geometrie eine Punkte und Geraden umfassende Inzidenzstruktur, die im Wesentlichen durch zwei Forderungen charakterisiert ist, nämlich dass je zwei Punkte eine (eindeutige) Verbindungsgerade besitzen und dass es eindeutige parallele Geraden gibt. In der linearen Algebra und der analytischen Geometrie wird ein zwei-dimensionaler affiner Raum als affine Ebene bezeichnet. Der im vorliegenden Artikel beschriebene Begriff der synthetischen Geometrie verallgemeinert diesen bekannteren Begriff aus der linearen Algebra. Eine affine Ebene, die nur endlich viele Punkte enthält, wird als endliche affine Ebene bezeichnet und als solche auch in der endlichen Geometrie untersucht. Besonders für diese Ebenen ist der Begriff Ordnung der Ebene wichtig: Sie ist definiert als die Anzahl der Punkte auf einer und damit jeder Geraden der Ebene. Jede affine Ebene lässt sich durch Einführung uneigentlicher Punkte und einer aus diesen bestehenden uneigentlichen Geraden zu einer projektiven Ebene erweitern. Umgekehrt entsteht aus einer projektiven Ebene durch Entfernung einer Geraden mit ihren Punkten eine affine Ebene. → Siehe auch projektives Koordinatensystem. Jede affine Ebene kann durch die Zuordnung eines Koordinatenbereichs koordinatisiert und durch zusätzliche Verknüpfungen, die sich aus den geometrischen Eigenschaften der Ebene in diesem Koordinatenbereich ergeben, algebraisiert werden. Eine affine Ebene im Sinne der linearen Algebra, also ein affiner Raum, dessen Vektorraum der Parallelverschiebungen ein zwei-dimensionaler Vektorraum über einem Körper ist, ergibt sich genau dann, wenn der Koordinatenbereich durch die geometrische Struktur isomorph zu ebendiesem Körper wird. Diese Beschreibung der affinen Ebene mit Hilfe eines Koordinatenbereichs, bei dem der algebraische Begriff Körper verallgemeinert wird, und ein Überblick über die Strukturen, die sich bei Gültigkeit wichtiger Schließungssätze ergeben, findet sich im Hauptartikel Ternärkörper. Andererseits kann man die Gruppe der Parallelverschiebungen in einer affinen Ebene untersuchen, was zu einer anderen Algebraisierung führt, bei der der Begriff Parallelverschiebung, der in der linearen Algebra durch einen Vektor beschrieben werden kann, zum Begriff der Translation führt. Dieser Zugang, der den koordinatenbezogenen Zugang ergänzt, wird im Hauptartikel Affine Translationsebene beschrieben. (de)
- En geometría, un plano afín es un sistema de puntos y rectas que satisfacen los siguientes axiomas:
* Dos puntos distintos se encuentran en una única recta.
* Cada recta tiene al menos dos puntos.
* Dada cualquier recta y cualquier punto no perteneciente a la misma, existe una única recta que contiene al punto y no se corta con la recta dada (axioma de Playfair).
* Existen tres puntos no-colineares (puntos no situados en una sola recta). En un plano afín, dos rectas se llaman "paralelas" si son iguales (todos sus puntos coinciden) o disjuntas (no tienen ningún punto en común). Utilizando esta definición, el axioma de Playfair puede ser reemplazado por la expresión:
* Dados un punto y una recta, existe una única recta que contiene al punto y es paralela a la recta dada. El paralelismo es un relación de equivalencia entre las rectas de un plano afín. Dado que en los axiomas no intervienen conceptos distintos de los que implican la relación entre puntos y rectas, un plano afín es un objeto de estudio perteneciente a la geometría de incidencia. Son no degenerados que satisfacen el axioma de Playfair. El familiar espacio euclídeo bidimensional es un plano afín. Hay muchos planos afines finitos e infinitos. Además de planos afines sobre cuerpos (y anillos de división), también existen muchos , no derivados de coordenadas en un anillo de división, satisfaciendo estos axiomas. El plano de Moulton es uno de estos ejemplos. (es)
- Dans une approche axiomatique de la géométrie, il est possible de définir le plan comme une structure d'incidence, c'est-à-dire la donnée d'objets primitifs, les points et les droites (qui sont certains ensembles de ces points) et d'une relation, dite d'incidence, entre point et droite (qui est la relation d'appartenance du point à la droite). Un plan affine est alors une telle structure vérifiant les axiomes d'incidence :
* deux points A et B distincts sont incidents à une unique droite (notée (AB)) ;
* il existe au moins trois points non incidents à une même droite (autrement dit : trois points non alignés) ;
* pour toute droite d et tout point A non incident à d, il existe une unique droite d' incidente à A telle qu'aucun point ne soit incident aux deux droites d et d' (autrement dit : une droite d' passant par A et disjointe de d). Il est également possible de définir un plan affine comme espace affine de dimension 2 sur un corps. Tout plan affine sur un corps, comme le plan affine réel usuel, est un plan affine en tant que structure d'incidence, au sens où ses points et ses droites, et la relation d'appartenance d'un point à une droite, satisfont les axiomes d'incidence. Mais ces deux définitions ne coïncident pas : un axiome supplémentaire, l'axiome de Desargues, est nécessaire pour cela (voir plan affine arguésien). Les plans affines, satisfaisant donc les axiomes d'incidence, mais ne satisfaisant pas l'axiome de Desargues, sont dits non arguésiens. (fr)
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- In geometry, an affine plane is a system of points and lines that satisfy the following axioms:
* Any two distinct points lie on a unique line.
* Given any line and any point not on that line there is a unique line which contains the point and does not meet the given line. (Playfair's axiom)
* There exist three non-collinear points (points not on a single line). In an affine plane, two lines are called parallel if they are equal or disjoint. Using this definition, Playfair's axiom above can be replaced by: Parallelism is an equivalence relation on the lines of an affine plane. (en)
- Eine affine Ebene ist in der synthetischen Geometrie eine Punkte und Geraden umfassende Inzidenzstruktur, die im Wesentlichen durch zwei Forderungen charakterisiert ist, nämlich dass je zwei Punkte eine (eindeutige) Verbindungsgerade besitzen und dass es eindeutige parallele Geraden gibt. In der linearen Algebra und der analytischen Geometrie wird ein zwei-dimensionaler affiner Raum als affine Ebene bezeichnet. Der im vorliegenden Artikel beschriebene Begriff der synthetischen Geometrie verallgemeinert diesen bekannteren Begriff aus der linearen Algebra. (de)
- En geometría, un plano afín es un sistema de puntos y rectas que satisfacen los siguientes axiomas:
* Dos puntos distintos se encuentran en una única recta.
* Cada recta tiene al menos dos puntos.
* Dada cualquier recta y cualquier punto no perteneciente a la misma, existe una única recta que contiene al punto y no se corta con la recta dada (axioma de Playfair).
* Existen tres puntos no-colineares (puntos no situados en una sola recta).
* Dados un punto y una recta, existe una única recta que contiene al punto y es paralela a la recta dada. (es)
- Dans une approche axiomatique de la géométrie, il est possible de définir le plan comme une structure d'incidence, c'est-à-dire la donnée d'objets primitifs, les points et les droites (qui sont certains ensembles de ces points) et d'une relation, dite d'incidence, entre point et droite (qui est la relation d'appartenance du point à la droite). Un plan affine est alors une telle structure vérifiant les axiomes d'incidence : (fr)
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