Gradijent

Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnom i bijelom područijem, s tim da crna odgovara većim vrijednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

U vektorskom kalkulusu, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje pokazuje pravac najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Banachovom prostoru koje imaju vektorske vrijednosti, je Jakobijanska matrica i determinanta. Ovaj koncept je imenovan po njemačkom matematičaru Carlu Gustavu Jacobu Jacobiju.

Interpretacija gradijenta

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem $\phi$ , tako da je u svakoj tački $(x,y,z)$ temperatura $\phi (x,y,z)$ (pretpostavit ćemo da se temperatura ne mijenja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazat će smjer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, također, može koristit da se izmjeri kako se skalarno polje mijenja u drugim smjerovima (a ne samo u pravcu najveće promijene) korištenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamilimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako cesta ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, također, 40%. Ako, međutim, cesta ide oko brda sa uglom u smjeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati plići nagib. Naprimjer, ako je ugao između ceste u pravca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž ceste, biti 20%, štp se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.

Formalna definicija

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije $f(x)$ po vaktorskoj varijabli $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ se označava kao $\nabla f$ ili ${\vec {\nabla }}f$ gdje je $\nabla$ (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka $\operatorname {grad} (f)$ se, također, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije $f$ . To jest:

\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).

Skalarni proizvod $(\nabla f)_{x}\cdot v$ gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski integrali kroz gradijentno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoći gradijentnog teorema. Suprotno, nerotacijsko vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvijek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzije

Oblik gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

\nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}

U cilindričnim koordinatama:

\nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}

(gdje je $\theta$ azimutalni ugao, a $z$ je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

\nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}

(gdje je $\theta$ azimutalni ugao, a $\phi$ je zenitni ugao).

Primjer

Na primjer, gradijent u pravouglim koordinatama

f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)

je:

\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.

Gradijent i izvod ili diferencijal

Linearna aproksimacija funkcije

Gradijent funkcije $f$ iz Euklidovog prostora $\mathbb {R} ^{n}$ u $\mathbb {R}$ i bilo kojoj tački x₀ u $\mathbb {R} ^{n}$ karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x₀. Ta aproksimacija se zapisuje na sljedeći način:

f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})

za $x$ koje je blizu $x_{0}$ , gdje je $(\nabla f)_{x_{0}}$ gradijent funkcije f izračunat u $x_{0}$ , gdje tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu $\mathbb {R} ^{n}$ .

Također pogledajte

Reference

Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. str. 157-160. ISBN 0-486-41147-8.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)