Kompleksan broj

Kompleksni brojevi su oni brojevi koji proširuju skup realnih brojeva na način da jednačina $x^{2}+1=0$ ima rješenje. Ono je moguće uvođenjem novog imaginarnog broja $\mathrm {i}$ koji ima osobinu $\mathrm {i} ^{2}=-1$ . Ovaj broj $\mathrm {i}$ označava se kao imaginarna jedinica. U elektrotehnici za njegovo označavanje koristi se slovo $\mathrm {j}$ , kako bi se izbjegla zabuna sa oznakom za jačinu struje zavisne od vremena (koja se označava sa $i$ ili $i(t)$ ).

Pojam "kompleksnih brojeva" uveo je Carl Friedrich Gauß 1831. u djelu Theoria residuorum biquadraticorum. Međutim, temelje teorije kompleksnih brojeva postavio je italijanski matematičar Gerolamo Cardano u djelu Ars magna objavljenom u Nürnbergu 1545. te Rafael Bombelli u djelu L'Algebra objavljenom u Bologni 1572. a napisanom između 1557. i 1560.^[1] Uvođenje imaginarne jedinice $\mathrm {i}$ kao novog broja pripisuje se Leonhardu Euleru.

Definicije

U skupu realnih brojeva $\mathbb {R}$ jednačina $x^{2}-1=0$ ima dva rješenja

$x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1$

Slična jednačina $x^{2}+1=0$ u skupu $\mathbb {R}$ nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica $i$ definisana na sljedeći način $i^{2}=-1$ tj

$x^{2}+1=0\quad \Rightarrow \quad x=\pm i$ . Iz ove definicije slijedi

$\displaystyle i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=-i\cdot i=-(-1)=1,\quad i^{5}=i,\quad i^{6}=-1,\ldots$ .^[2]

Na ovaj način dobili smo skup kompleksnih brojeva. Kompleksan broj je broj oblika

$x+yi\,$

gdje su x i y realni brojevi, a i se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu i² = -1.

Realni broj $x$ se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa $\operatorname {Re} (z)$ , a $y$ se naziva imaginarni dio i označava se sa $\operatorname {Im} (z)$ .

Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj x možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je y = 0, tj. $x=x+0i$ .

Povremeno se moze naići na definiciju $i={\sqrt {-1}}$ . U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat. ${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}=1$ . U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja $i={\sqrt {-1}}$ imamo: $i\cdot i=-1$ što je i korektan rezultat.

Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni vektori ili uređeni parovi $(x,y)$ realnih brojeva.

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja ${\sqrt {-1}}$ .

S druge strane, zapis oblika $z=x+yi$ pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

$z=x+yi$ i

$z=(x,y)$ potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva $\mathbb {C}$ je skup svih brojeva oblika $z=x+iy$ , gdje su $x,y\in \mathbb {R}$ .

Posebno je $0=0+i0$ .

$x=\operatorname {Re} z$ je realni dio kompleksnog broja $z$ ,

$y=\operatorname {Im} z$ je imaginarni dio kompleksnog broja $z$ .

Algebarski oblik kompleksnog broja je

$z=x+iy$ za $x,y\in \mathbb {R}$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R}$

pri čemu je

$r=|z|$ modul

$\theta =\operatorname {Arg} z$ argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

$z=r^{i\theta }$ za $r\geq 0,\theta \in \mathbb {R}$

pri čemu je

$r=|z|$ modul

$\theta =\operatorname {Arg} z$ argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

$z_{1}=z_{2}\quad \Leftrightarrow \quad (\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).$

Konjugirano kompleksni broj broja $z=x+iy$ je broj ${\bar {z}}=x-iy$ .

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z$ je nenegativni realni broj $r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ .

Operacije s kompleksnim brojevima

U skupu kompleksnih brojeva definisano je sabiranje.

Neka su $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ i $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ dva kompleksna broja.

$\displaystyle z_{1}+z_{2}\displaystyle =x_{1}+x_{2}+i(y_{1}+y_{2})$ ^[2]

i oduzimanje

$\displaystyle z_{1}-z_{2}\displaystyle =x_{1}-x_{2}+i(y_{1}-y_{2})$

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

$z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$ za $\forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ komutativnost sabiranja

$z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ asocijativnost sabiranja

$\exists 0\in \mathbb {C} z+0=z$ za $\forall z\in \mathbb {C}$ neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj $0=(0,0)=0+0i$

$(\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0$ postojanje inverznog elementa.

Kompleksni broj $-z=(-x,-y)=-x-yi$ ^[3]

Množenje kompleksnih brojeva

Neka su $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ i $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ dva kompleksna broja.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje $\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}\displaystyle =(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}+iy_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+i^{2}y_{1}y_{2}\displaystyle =x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})$

Osobine množenja kompleksnih brojeva

$z_{1}\cdot z_{2}=z_{2}\cdot z_{1}$ za $\forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ komutativnost množenja

${\textstyle z_{1}\cdot (z_{2}\cdot z_{3})=(z_{1}\cdot z_{2})\cdot z_{3}}$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ asocijativnost množenja

$\exists 1\in \mathbb {C} z\cdot 1=z$ za $\forall z\in \mathbb {C}$ neutralni element $1$ za množenje

$(\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} )z\cdot (-z)=1$ postojanje reciproćnog elemanta

$z_{1}\cdot (z_{2}+z_{3})=z_{1}\cdot z_{2}+z_{1}\cdot z_{3}$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ distributivnost množenja u odnosu na sabiranje ^[3]

Realan proizvod dva kompleksna broja

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$ , u oznaci $a\circ b$ ,je realan broj određen kao

$a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})$

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima $a=|a|(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ i $b=|b|(\cos \psi +i\sin \psi )$ Lako je provjeriti da je

$a\circ b=|a||b|(\cos \varphi +i\sin \psi )=|OA||AB|\cos {\widehat {AOB}}$

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

$a\circ a=|a|^{2}$
$a\circ b=b\circ a$
${\overline {a\circ b}}=a\circ b$
$(\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)$
$(az)(bz)=|z|^{2}(a\circ b)$
$a\circ b=0\quad \Leftrightarrow \quad OA\perp OB$ (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$ )

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$ jednak je potenciji koordinantnog početka $O$ kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik $AB$ , gdje su $A$ i $B$ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$ .

Tačka $M$ je sredina duži AB određena kompleksnim brojem ${\frac {a+b}{2}}$ , potencija tačke $O$ u odnosu na krug sa središtem u tački $M$ i poluprečnikom

$r={\frac {a-b}{2}}={\frac {|a-b|}{2}}$ jednaka je

$OM^{2}-r^{2}=\left|{\frac {a+b}{2}}\right|-\left|{\frac {a-b}{2}}\right|={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}})}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b$

Neka su tačke $A$ , $B$ , $C$ , $D$ taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

$AB\perp CD$
$(a+b)\circ (c+d)=0$
${\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$
$\operatorname {Re} \left({\frac {b-a}{d-c}}\right)=0$

Središte kružnice opisane oko trougla $ABC$ nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena $A$ , $B$ , $C$ trougla $ABC$ određena kompleksnim brojevima $a$ , $b$ , $c$ respektivno, tada je ortocentar $H$ tog trougla određen kompleksnim brojem $h=a+b+c$ .

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

$a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}$ nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva $a$ i $b$ .

Neka su $A$ i $B$ tačke određene kompleksnim brojevima $a=|a|(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ i $a=|b|(\cos \psi +i\sin \psi )$ Lako je provjeriti da je

$|a\times b|=|a||b|\sin(\varphi -\psi )=|OA||AB|\sin {\widehat {AOB}}=2P_{AOB}$

Neka su $a$ , $b$ , $c$ kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

${\overline {a\times b}}=-a\times b$
$a\times b=0\quad \Leftrightarrow \quad a=0\lor b=0\lor a=\lambda b$ gdje je $\lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$
$a\times b=-b\times a$
$\alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)$ ( $\forall \alpha \in \mathbb {R}$ )

Ako su $A(a)$ i $B(b)$ dvije različite tačke različite od $O(0)$ , tada je $a\times b=0$ onda i samo onda ako su $O$ , $A$ , $B$ kolinearne tačke.

Neka su $A(a$ ) i $B(b$ ) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva $a$ i $b$ ima sljedeći geometrijski smisao

$a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}{\text{ za trougao }}AOB{\text{ pozitivno orijentisan}}\\-2iP_{AOB}{\text{ za trougao }}AOB{\text{ negativno orijentisan}}\end{cases}}$ Neka su $A(a)$ , $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

$P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a){\text{ ako je }}ABC{\text{ pozitivno orjentisan}}\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a){\text{ ako je }}ABC{\text{ negativno orjentisan}}\end{cases}}$

Neka su $A(a)$ , $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

Tačke $A$ , $B$ , $C$ su kolinearne
$(b-a)\times (c-a)=0$
$a\times b+b\times c+c\times a=0$

Neka su $A(a)$ , $B(b)$ , $C(c)$ i $D(d)$ četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je $AB\parallel CD$ onda i samo onda ako je $(b-a)\times (d-c)=0$

Dijeljenje kompleksnih brojeva

$\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\text{za}}\quad z_{2}\neq 0$

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

$\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C}$

Neka je $z=x+yi\neq 0$ bilo koji. Onda je $x^{2}+y^{2}\neq 0$ pa je dobro definisan broj

$z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i$

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.$

imamo

$z'\cdot z=z\cdot z'=1$

$z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}$

Konjugovano kompleksni brojevi

Kompleksan broj ${\overline {z}}\ =x-yi=r^{-i\theta }$ nazivamo konjugovanim broju $z=x+yi=r^{i\theta }$ .^[4]

Brojevi $z$ i ${\overline {z}}$ čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

$\operatorname {Re} z={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}})$

$\operatorname {Im} z={\frac {1}{2i}}(z-{\overline {z}})$

Lako se provjerava da vrijedi

${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$
${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$
${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}$
${\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{1}}}}$ ^[3]

Neka je $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r\operatorname {cis} \theta$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$z^{2}=z\cdot z$

$z^{2}=r\operatorname {cis} \theta \cdot r\operatorname {cis} \theta =r^{2}\operatorname {cis} (\theta +\theta )=r^{2}\operatorname {cis} 2\theta$

$z^{3}=r^{2}\operatorname {cis} 2\theta \cdot r\operatorname {cis} \theta =r^{3}\operatorname {cis} (2\theta +\theta )=r^{3}\operatorname {cis} 3\theta$

$z^{4}=r^{3}\operatorname {cis} 3\theta \cdot r\operatorname {cis} \theta =r^{4}\operatorname {cis} (3\theta +\theta )=r^{4}\operatorname {cis} 4\theta$ ^[4]

Na ovaj način dobijamo opći oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$z^{n}=r^{n}\operatorname {cis} n\theta$ ili

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta (n\in Z)$ ^[4]

Stepenovanje kompleksnog broja

$z^{n}=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )=r^{n}e^{in\theta }$ za $n\in N$ .

$z^{m}z^{n}=z^{m+n}$

$(z_{1}z_{2})^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}$

$(z^{m})^{n}=z^{mn}$

Potencije imaginarne jedinice

$i^{4k}=1$

$i^{4k+1}=i$

$i^{4k+2}=-1$

$i^{4k+3}=-i$ ^[5]

Korjenovanje kompleksnog broja

${\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}$ za $n\in N$

gdje je

$u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(\cos {\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+i\sin {\frac {\theta +2k\pi }{n}})$ za $k=0,1,\dots ,(n-1)$

$u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}$ za $k=0,1,\dots ,(n-1)$

Kvadratni korjen imaginarnog broja

${\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

$i=(a+bi)^{2}\!$

$i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!$

Dobijamo dvije jednačine

${\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}$

čija su rješenja

$a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Izbor glavnog korjena daje

$a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

$i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)$

${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}$

Apsolutna vrijednost argumenta

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja $z=x+yi$ je

\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

\textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,

^[3]

\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate }}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$

$\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)$

imamo

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,$

Primjer

$(2+i)(3+i)=5+5i.\,$

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

Dijeljenje

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Ponekad je kompleksne brojeve potrebno pisati u trigonometrijskom obliku

$a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,$

$\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}$ , za $a>0$ i $\phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}$ za $a<0$ ; kada je $a=0$ onda je $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ , ako je $b>0$ i $\phi =-{\frac {\pi }{2}}$ , ako je $b<0$

Broj $\rho$ se naziva modul kompleksnog broja , a $\phi$ је argument kompleksnog broja

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

$z_{1}=r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})$ i $z_{2}=r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})$

onda je ^[6]

Sada, kada smo odredili brojeve, mogu se pomnožiti: $z_{1}z_{2}=r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})=$

$r_{1}r_{2}(\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}+i\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}+i\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}+i^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2})=$

$r_{1}r_{2}((\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2})+i(\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1})=$

$r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})$

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

$z_{1}=r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})$ i $z_{2}=r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})$

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})}}={\frac {r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})}}\cdot {\frac {r_{1}(\cos \varphi _{2}-i\sin \varphi _{2})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}-i\sin \varphi _{2})}}$ ^[6]

u općem slučaju važi ${\frac {r_{1}}{r_{2}}}\cdot {\frac {\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-i\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}+i\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}-i^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}}{\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{2}}}$

${\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\operatorname {cis} (\varphi _{1}-\varphi _{2}))$

De Moavrova formula