Aplicació lineal

En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.

Definicions

Sigui $f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F}$ una aplicació on $\mathbf {E}$ i $\mathbf {F}$ són dos $\mathbb {K}$-espais vectorials.

$\,f$ és una aplicació lineal (o un morfisme de $\mathbb {K}$-espais vectorials) si: $f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in E$ $f(\lambda \cdot x)=\lambda \cdot f(x),\;\forall \lambda \in \mathbb {K} ,\;\forall x\in E$

Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.

Propietats

Si $f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F}$ és una aplicació lineal, $\forall x,y\in \mathbf {E}$, i $\forall a,b\in \mathbb {K}$ es compleix:

• $f(ax+by)=af(x)+bf(y)\,$
• $f\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}f(x_{i})$
• $f({\vec {0}})={\vec {0}}$
• $f(-x)=-f(x)\,$
• Si $g:\mathbf {F} \rightarrow \mathbf {G}$ també és una aplicació lineal, aleshores:$g\circ f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {G}$, també és una aplicació lineal.

Nucli i imatge

Sigui $f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F}$

• S'anomenarà nucli de $f$ al subespai vectorial de $\mathbf {E}$

$\operatorname {Nuc} f=\left\{x\in \mathbf {E} |f(x)=0\right\}$

• S'anomenarà imatge de $f$ al subespai vectorial de $\mathbf {F}$

$\operatorname {Im} f=\left\{y\in \mathbf {F} |\exists x\in \mathbf {E} ,y=f(x)\right\}$

Teorema del rang

$\dim(\operatorname {Nuc} f)+\dim(\operatorname {Im} f)=\dim(\mathbf {E} )$

Teorema d'isomorfisme

$\operatorname {Im} f\cong \mathbf {E} /\operatorname {Nuc} f$

Matriu associada a una aplicació lineal

Siguin $\mathbf {E}$ i $\mathbf {F}$ dos espais vectorials de dimensió finita, $\{u_{1},\dots ,u_{n}\}$ i $\{v_{1},\dots ,v_{m}\}$ les seves respectives bases i $f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F}$ una aplicació lineal, $\ f$ queda definida si es coneixen les coordenades de $f(u_{1}),\dots ,f(u_{n})$ en la base de $\mathbf {F}$:

$f(u_{i})=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{i}^{j}v_{j},i=1,\dots ,n$

$\ A$ S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal $\ f$ en les bases $\{u_{1},\dots ,u_{n}\}$ i $\{v_{1},\dots ,v_{m}\}$

$A={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{1}&\cdots &\lambda _{n}^{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda _{1}^{m}&\cdots &\lambda _{n}^{m}\end{pmatrix}}$

Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de la imatge d'un vector:

$w\in \mathbf {E} =\sum _{i=1}^{n}w_{i}u_{i}$

$\ f(w)\in F=f(\sum _{i=1}^{n}w_{i}u_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\sum _{j=1}^{m}\lambda _{i}^{j}v_{j})=\sum _{j=1}^{m}(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{j}w_{i})v_{j}$

Les coordenades de $\ f(w)$ en la base $\{v_{1},\dots ,v_{m}\}$ de $\mathbf {F}$ són:

${\bar {w_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{j}w_{i},i=1,\dots ,m$

$\Rightarrow {\bar {w}}=A\cdot w$

Composició d'aplicacions lineals

Donades dues aplicacions lineals $f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F}$ i $g:\mathbf {F} \rightarrow \mathbf {G}$ (on $\{u_{1},\dots ,u_{n}\}$, $\{v_{1},\dots ,v_{m}\}$ i $\{w_{1},\dots ,w_{s}\}$ són les bases de $\mathbf {E}$, $\mathbf {F}$ i $\mathbf {G}$) amb $\ A$ i $\ B$ com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu $C=B\cdot A$ és la matriu associada a l'aplicació $g\circ f$

Demostració

$\left.{\begin{matrix}f(u_{i})=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}v_{j}\\g(v_{j})=\sum _{k=1}^{s}b_{j}^{k}w_{k}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow g\circ f(u_{i})=g(f(u_{i}))=g(\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}v_{j})=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}g(v_{j})=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}(\sum _{k=1}^{s}b_{j}^{k}w_{k})=\sum _{k=1}^{s}(\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}b_{j}^{k})w_{k}\Rightarrow$

$C_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}b_{j}^{k}$

$(C=B\cdot A)$

Canvi de base

Sigui $f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F}$ una aplicació lineal amb la matriu $\ A$ respecte a les bases $\{u_{1},\dots ,u_{n}\}$ i $\{v_{1},\dots ,v_{m}\}$ de $\mathbf {E}$ i $\mathbf {F}$ i la matriu $\ B$ respecte a les bases $\{u_{1}',\dots ,u_{n}'\}$ i $\{v_{1}',\dots ,v_{m}'\}$ es pot escriure ${\text{f}}\;$ com la següent composició

$B=Q\cdot A\cdot P$

on $\ P$ és la matriu del canvi de base de $\{u_{i}'\}\;$ a $\{u_{i}\}\;$ i $\ Q$ és la matriu del canvi de base de $\{v_{j}\}\;$ a $\{v_{j}'\}\;$.

L'espai dual

L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de $\mathbf {E}$ a $\mathbb {R}$.

$\mathbf {E} \rightarrow \mathbb {R}$

Les aplicacions lineals a $\mathbb {R}$ s'anomenen formes, i a l'espai ${\mathcal {L}}(\mathbf {E} ,\mathbb {R} )=\mathbf {E^{*}}$ se l'anomena espai dual de $\mathbf {E}$, on ${\mathcal {L}}(\mathbf {E} ,\mathbb {R} )$ és el conjunt de totes les aplicacions lineals de $\mathbf {E}$ a $\mathbb {R}$.

$\mathbf {E^{*}}$ és un espai vectorial de la mateixa dimenió que $\mathbf {E}$ (si $\mathbf {E}$ té dimensió finita):

$\dim {\mathcal {L}}(\mathbf {E} ,\mathbb {R} )=\dim \mathbf {E} \cdot \underbrace {\dim \mathbb {R} } _{\text{1}}=\dim \mathbf {E}$

$\Rightarrow \dim \mathbf {E^{*}} =\dim \mathbf {E}$

Donada una base de $\mathbf {E} =\{u_{1},...,u_{n}\}$, les aplicacions:

$u_{i}':$	$\mathbf {E} \rightarrow \mathbb {R}$
	$u_{j}\mapsto 0$	$\quad {\text{si }}~j\neq i$
	$u_{j}\mapsto 1$	$\quad {\text{si }}~j=i$

$u_{i}^{'}(u_{j})=\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{si}}&i=j\\0&{\mbox{si}}&i\neq j\end{matrix}}\right.$

On $u_{i}'$ és l'aplicació, $u_{j}$ és l'element i $\delta _{ij}$ és la funció delta de Kronecker.

Les aplicacions $\{u_{i}'\}(i=1,...,n)$ formen una base de $\mathbf {E} ^{*}$ que s'anomena base dual de $\{u_{1},...,u_{n}\}$.

Observació

Suposem que $\{u_{1},...,u_{n}\}$ i $\{v_{1},...,v_{n}\}$ són bases diferents de $\mathbf {E}$ amb algun vector en comú (suposem que $u_{1}=v_{1}$), aleshores, en les dues bases duals $\{u_{1}',...,u_{n}'\}$ i $\{v_{1}',...,v_{n}'\}$, $u_{1}'$ i $v_{1}'$ no tenen per què ser iguals.

Proposició

Sigui $\{u_{1},...,u_{n}\}$ una base de $\mathbf {E}$ i $\{u_{1}',...,u_{n}'\}$ la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol $\omega \in \mathbf {E} ^{*}$ en la base $\{u_{1}',...,u_{n}'\}$ són $(\omega (u_{1}),...,\omega (u_{n}))$.

$\omega :$	$\mathbf {E} \rightarrow \mathbb {R}$
	$u_{1}\mapsto \omega (u_{1})$
	$u_{j}\mapsto \omega (u_{2})$
	$\vdots$
	$u_{n}\mapsto \omega (u_{n})$

$\omega =\alpha _{1}u_{1}'+,,,+\alpha _{n}u_{n}'~~~~~~~~~~\alpha _{i}=\omega (u_{i})~~~i=1,...,n$

$\Rightarrow \omega =\omega (u_{1})\cdot u_{1}'+...+\omega (u_{n})\cdot u_{n}'$

$\omega =\sum _{i=1}^{n}\omega (u_{i})\cdot u_{i}'$

Demostració

Per tot vector $u_{k}$ de la base de $\mathbf {E}$ tenim: ${\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\omega (u_{i})\cdot u_{i}'{\bigg )}(u_{k})=\sum _{i=1}^{n}\omega (u_{i})\cdot u_{i}'(u_{k})=\omega (u_{1})\cdot \underbrace {u_{1}'(u_{k})} _{\text{0}}+...+\omega (u_{k})\cdot \underbrace {u_{k}'(u_{k})} _{\text{1}}+...+\omega (u_{n})\cdot \underbrace {u_{n}'(u_{k})} _{\text{0}}=\omega (u_{k})$

$\Rightarrow \omega =\sum _{i=1}^{n}\omega (u_{i})\cdot u_{i}'$

Aplicacions duals

Fixada una aplicació lineal $f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F}$ i $\mathbf {F} ^{*}={\mathcal {L}}(\mathbf {F} ,\mathbb {R} )$, al compondre un element $\omega \in \mathbf {F} ^{*}$ amb $f$, obtenim un element $\omega \circ f\in \mathbf {E} ^{*}$:

Per tant, existeix una aplicació $f'$ que designarem per aplicació dual de $f$:

${\begin{matrix}f':&\mathbf {F} ^{*}\rightarrow \mathbf {E} ^{*}\\&\omega \mapsto \omega \circ f\end{matrix}}$

i té les següents propietats:

• Lineal:

$f'(\omega +v)=(\omega +v)\circ f=(\omega \circ f)+(v\circ f)=f'(\omega )+f'(v)$

$f'(\lambda \omega )=(\lambda \omega )\circ f=\lambda (\omega \circ f)=\lambda f'(\omega )$

• $(g\circ f)'=f'\circ g'$:

$(g\circ f)'(\omega )=\omega \circ (g\circ f)=(\omega \circ g)\circ f=f'(\omega \circ g)=f'(g'(\omega ))=f'\circ g'(\omega )$

Relació entre matrius

• $f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F}$ té per matriu associada $A=(a_{i}^{j})$ en les bases $\{u_{1},...,u_{n}\}$ i $\{v_{1},...,v_{m}\}$ de $\mathbf {E}$ i $\mathbf {F}$ respectivament.
• $f':\mathbf {F} ^{*}\rightarrow \mathbf {E} ^{*}$ tindrà una matriu associada $B=(b_{i}^{j})$ en les dues bases duals $\{v_{1},...,v_{m}\}$ i $\{u_{1},...,u_{n}\}$ de $\mathbf {F} ^{*}$ i $\mathbf {E} ^{*}$ respectivament.

Proposició

La matriu de l'aplicació dual $f'$ en les bases duals és la matriu transposada de $A$.

$B=(b_{i}^{j})=(a_{j}^{i})=A^{t}$

Demostració

$b_{i}^{j}=(f'(v_{i}'))(u_{j})=(v_{i}'\circ f)(u_{j})=v_{i}'(f(u_{j}))=v_{i}'(\sum _{k=1}^{m}a_{j}^{k}v_{k})=\sum _{k=1}^{m}a_{j}^{k}v_{i}'(v_{k})=a_{j}^{1}\underbrace {v_{i}'(v_{1})} _{\text{0}}+...+a_{j}^{i}\underbrace {v_{i}'(v_{i})} _{\text{1}}+...+a_{j}^{m}\underbrace {v_{i}'(v_{m})} _{\text{0}}=a_{j}^{i}$ $\Rightarrow b_{i}^{j}=a_{j}^{i}\Rightarrow B=A^{t}$

Vegeu també

• funció lineal
• Àlgebra lineal
• Estructura lineal dual
• Forma lineal

Bibliografia

• Castellet, Manuel; Llerena, Irene. Universitat Autònoma de Barcelona. Àlgebra lineal i geometria, 2005. ISBN 84-7488-943-X.