Korektně definovaný

Korektně definovaný výraz je v matematice takový výraz, jemuž definice přiřazuje jedinečnou interpretaci nebo hodnotu. V opačném případě se říká, že výraz není korektně definovaný, je špatně definovaný nebo nejednoznačný.^[1] Funkce je korektně definovaná, pokud dává stejný výsledek, když se změní reprezentace vstupu bez změny hodnoty vstupu. Pokud například parametrem funkce $f$ je reálné číslo, a, pokud $f(0.5)$ není rovno $f(1/2)$ pak $f$ není korektně definované (a proto to není funkce).^[2] Termín korektně definovaný může být také používán jako vyjádření, že logický výraz je jednoznačný a není kontradikcí.

Funkce, která není korektně definovaná, není totéž jako funkce, které je nedefinovaná. Pokud například $f(x)={\frac {1}{x}}$ , pak přestože $f(0)$ není definováno, neznamená to, že funkce není definovaná korektně; pouze to znamená, že 0 není v definičním oboru funkce $f$ .

Příklad

Nechť $A_{0},A_{1}$ jsou množiny a $A=A_{0}\cup A_{1}$ . „Definujme“ $f:A\rightarrow \{0,1\}$ jako $f(a)=0$ pokud $a\in A_{0}$ a $f(a)=1$ pokud $a\in A_{1}$ .

Funkce $f$ je korektně definovaná, pokud $A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!$ . Pokud například $A_{0}:=\{2,4\}$ a $A_{1}:=\{3,5\}$ , pak je $f(a)$ definována korektně a rovna $\operatorname {mod} (a,2)$ .

Pokud by však $A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset$ , pak $f$ by nebyla korektně definovaná, protože pro $a\in A_{0}\cap A_{1}$ je $f(a)$ „nejednoznačné“. Pokud například $A_{0}:=\{2\}$ a $A_{1}:=\{2\}$ , pak by $f(2)$ muselo být 0 i 1, což ji činí nejednoznačnou. V důsledku toho funkce $f$ není korektně definovaná a tedy to není funkce.

“Definice“ jako anticipation definice

Pro/Aby zabraňovat uvozovky okolo „definuje“ v předchozí jednoduchý příklad, je možné „definici“ $f$ rozdělit na dva logické kroky:

Definice binární relace. Např.
$f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},$
(což není nic jiného než podmnožina kartézského součinu $A\times \{0,1\}$ .)
Tvrzení. Binární relace $f$ je funkce; v uvedeném příkladě
$f:A\rightarrow \{0,1\}.$

Zatímco definice v kroku 1 je formulována s volnosti libovolné definice a je určitě efektivní (bez potřeby ji klasifikovat jako „korektně definovanou“), tvrzení v kroku 2 má být dokázané. Tj. $f$ je funkce právě tehdy, když $A_{0}\cap A_{1}=\emptyset$ , a v tomto případě je $f$ korektně definovaná jako funkce.

Pokud by naopak množiny $A_{0}$ a $A_{1}$ nebyly disjunktní: $A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset$ , pak pro $a\in A_{0}\cap A_{1}$ , bychom dostali, že $(a,0)\in f$ a zároveň $(a,1)\in f$ , takže binární relace $f$ není funkcí (protože definovaný v Binární relace) a tedy ne korektně definovaný jako funkce. Hovorově se „funkce“ $f$ také nazývá nejednoznačnou v bodě $a$ (i když existuje na definitionem nikdy „nejednoznačný funkce“), a původní „definice“ je nesmyslná.

Bez ohledu na tyto nepatrné logické problémy, je zcela běžné používat pro „definice“ tohoto druhu termín definice (bez apostrofů), ze tří důvodů:

Poskytuje praktickou zkratku dvoustupňového přístupu.
Matematické vyvozování (tj. krok 2) je v obou případech stejné.
V matematických textech je tvrzení „na 100%“ pravdivé.

Nezávislost na výběru reprezentanta

Pochybnosti o korektnosti definice funkce se často objevují, když se definice neodkazuje na samotné argumenty, ale na jejich prvky, které slouží jako reprezentanti. To bývá nevyhnutelné, když argumenty jsou třídy rozkladu, a když jsou v definici použiti reprezentanti tříd. Hodnota funkce nesmí záviset na výběru reprezentanta.

Funkce s jedním argumentem

Uvažujme například funkci:

{\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}

kde $n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}$ a $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ jsou celá čísla modulo m a ${\overline {n}}_{m}$ označuje shodnost tříd n mod m.

Poznámka: ${\overline {n}}_{4}$ je odkaz na prvek $n\in {\overline {n}}_{8}$ , a ${\overline {n}}_{8}$ je argument funkce $f$ .

Funkce $f$ je korektně definovaná, protože:

n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.

Protipříkladem je opačná definice:

{\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}

která nevede k korektně definované funkci, protože například ${\overline {1}}_{4}$ se v $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ rovná ${\overline {5}}_{4}$ , ale ${\overline {1}}_{4}$ by funkce $g$ zobrazila na ${\overline {1}}_{8}$ , zatímco ${\overline {5}}_{4}$ by bylo zobrazeno na ${\overline {5}}_{8}$ , ale ${\overline {1}}_{8}$ a ${\overline {5}}_{8}$ nejsou v $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ stejné.

Operace

To, že je definice korektní se často prověřuje pro (binární) operace nad třídami ekvivalence. V tomto případě lze na operaci pohlížet jako na funkci dvou proměnných, a vlastnost být korektně definovaná je stejná jako v případě funkce. Například sčítání na množině celých čísel modulo nějaké n lze přirozeně definovat pomocí běžného sčítání celých čísel:

[a]\oplus [b]=[a+b]

Skutečnost, že tato operace je korektně definovaná, vyplývá z toho, že libovolného reprezentanta $[a]$ můžeme zapsat jako $a+kn$ , kde $k$ je celé číslo. Proto

[a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];

Totéž platí pro libovolného reprezentanta $[b]$ , díky čemuž je $[a+b]$ stejné, bez ohledu na výběr reprezentanta.

Korektně definovaný zápis

Pro reálná čísla je součin $a\times b\times c$ jednoznačný, protože $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ ; tedy řekneme, že zápis je korektně definovaný.^[1] Tuto vlastnost, známou jako asociativita násobení, zaručuje výsledek nezávisí na pořadí násobení; proto, specifikace posloupnosti lze vynechat. Odčítání operace je neasociativní; bez ohledu na that, existuje konvence, že $a-b-c$ je zkratka za $(a-b)-c$ , tedy je považovány za „korektně definovaný“. Na druhou stranu, dělení je neasociativní, a v případě výrazu $a/b/c$ , nejsou konvence závorkování korektně určeny; proto je tento výraz často považován za chybně definovaný.

Na rozdíl funkcí lze nejednoznačnosti zápisu často překonat doplňující definicí (např. pravidly priority nebo stanovením asociativity operátoru). Například v programovacím jazyce C, operátor - pro odčítání je asociativní zleva doprava, což znamená, že a-b-c je definovaný jako (a-b)-c, a operátor = pro přiřazení je asociativní zprava doleva, což znamená, že a=b=c je definovaný jako a=(b=c).^[3] V programovacím jazyce APL existuje pouze jedno pravidlo: z zprava doleva – ale závorky poprvé.

Jiná použití

Českému korektně definovaný odpovídá v angličtině obrat well-defined, který má v angličtině i další význam: O řešení parciální diferenciální rovnice řekneme, že je dobře definované, pokud je spojitě určeno okrajovými podmínkami.^[1]

Odkazy

Poznámky

↑ ^a ^b ^c WEISSTEIN, Eric W. Well-Defined [online]. From MathWorld – A Wolfram Web Resource [cit. 2013-01-02]. Dostupné online.
↑ Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 287 "... a funkce musí mít "jedinou-hodnotu," nebo, jak častěji říkáme, ... funkce je korektně definovaná.", Allyn and Bacon, 1965.
↑ Operator Precedence and Associativity in C [online]. GeeksforGeeks, 2014-02-07 [cit. 2019-10-18]. Dostupné online. (anglicky)

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Well-defined expression na anglické Wikipedii.

Literatura

GALLIAN, Joseph A., 2006. Contemporary Abstract Algebra. 6. vyd. [s.l.]: Houghlin Mifflin. Dostupné online. ISBN 0-618-51471-6. .
ALUFFI, Paolo. Algebra: Chapter 0. [s.l.]: [s.n.] ISBN 978-0821847817.
DUMMIT; FOOTE. Abstract Algebra. 3. vyd. [s.l.]: [s.n.] ISBN 978-0471433347.

Související články

[MathWorld-1] WEISSTEIN, Eric W. Well-Defined [online]. From MathWorld – A Wolfram Web Resource [cit. 2013-01-02]. Dostupné online.

[2] Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 287 "... a funkce musí mít "jedinou-hodnotu," nebo, jak častěji říkáme, ... funkce je korektně definovaná.", Allyn and Bacon, 1965.

[3] Operator Precedence and Associativity in C [online]. GeeksforGeeks, 2014-02-07 [cit. 2019-10-18]. Dostupné online. (anglicky)

[1]

[2]

[3]