Ellipsoide

En ellipsoide er en lukket flade i et 3-dimensionalt rum. Man kan tænke på den som en 3D-analogi til ellipsen, på samme måde som kuglen er det for en cirkel.

Beskrivelse

Tri-aksial ellipsoide med forskellige halv-akser a, b og c

Omdrejnings-ellipsoide (sfæroide) med to ens halv-akser (a) og en tredje halv-akse (c) som også er symmetriaksen. Ellipsoiden er oblat hvis c er mindre end a, og prolat hvis c større end a.

Standardligningen for en ellipsoide centeret i origo af et Kartesisk koordinatsystem er:

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$

Hvor a, b, c er længden af de tre halv-akser målt på hhv. x-, y- og z-aksen.

Undertyper

Man kan underinddele ellipsoiden i fire forskellige tilfælde på baggrund af halv-aksernes indbyrdes længde:

• $a>b>c$ — tri-aksial ellipsoide
• $a=b>c$ — oblat omdrejningsellipsoide (oblat sfæroide)
• $a=b<c$ — prolat omdrejningsellipsoide (prolat sfæroide)
• $a=b=c$ — trivial tilfældet, en kugle

Rumfang

Rumfanget (V) af en ellipsoide er givet ved formlen:

$V={\frac {4}{3}}\pi abc$

Bemærk, at ligningen reduceres til rumfanget for en kugle når alle tre elliptiske radier er ens.

Overfladeareal

Overfladearealet (S) af en generel (tri-aksial) ellipsoide er

$S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin \phi }}\left(E(\phi ,k)\,\sin ^{2}\phi +F(\phi ,k)\,\cos ^{2}\phi \right),$

hvor

$\cos \phi ={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}},\qquad a\geq b\geq c,$

og F(φ,k), E(φ,k) er ukomplette elliptiske integraler af første og anden art respektive. DLMF: §19.2 Definitions Arkiveret 2. december 2012 hos Wayback Machine

For omdrejningsellipsoiden kan udtrykket reduceres til:

$S_{\rm {oblat}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\right)\quad {\mbox{hvor}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\quad (c<a).$

$S_{\rm {prolat}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\sin ^{-1}e\right)\quad \qquad {\mbox{hvor}}\;\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}\quad (c>a).$

I begge tilfælde kan e betragtes som excentriciteten af den ellipse der fremkommer ved et tværsnit gennem symmetriaksen.

Eksempler på ellipsoidelignende figurer i den virkelige verden

• Prolat-lignende: Bolden i rugby og amerikansk fodbold.
• Oblat-lignende: Grapefrugt, klassisk afrundet pille, planeter (herunder Jorden) samt de fleste dværgplaneter.
• Triaksial-lignende: Dværgplaneten Haumea, der roterer så hurtigt at den formentlig antager en triaksial ellipsoide form.

Benævnelser

Matematisk litteratur bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'tri-aksial ellipsoide'.

Videnskabelig litteratur (især geodæsi) bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide' og benytter kun adjektivet 'tri-aksial' i det generelle tilfælde.

Ældre litteratur bruger 'sfæroide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide'.

Ethvert plant snit gennem ellipsoidens centrum giver en ellipse (og en cirkel, hvis snitplanet er vinkelret på en omdrejningsellipsoides symmetriakse).

Ellipsoider i kartografi

Indenfor kartografien benyttes oblate omdrejningsellipsoider, kaldet referenceellipsoider, til at koordinatsætte punkter på Jorden.