Diskussion:Über Kugel und Zylinder

Oberfläche von Kugel und Zylinder

Als erstes möchte ich mich bei SchmiAlf für diesen Artikel bedanken. Im Absatz "Oberfläche von Kugel und Zylinder" ist das Argument unverständlich. Hier tritt eine Größe $R$ auf, die möglicherweise der sonst mit $r$ bezeichnete Radius sein soll, aber für das geplante "infinitesimale" Argument soll $r$ ja von 0 bis $R$ laufen, was das spätere Aufaddieren ist. Auch dass dieses Aufaddieren auf der rechten Seite die Kugeloberfläche ergibt, weil deren Oberfläche in schmale Streifen längs der Breitenkreise zerlegt ist, sollte deutlicher herausgestellt werden, vielleicht mit einem weiteren Bild, das diese Streifen zeigt. Wer das Argument nicht sowieso schon kennt, wird wegen der gewählten Bezeichnungen wohl Verständnisschwierigkeiten haben. Daher würde ich mich über Anpassungen (der Kugelradius ist $r$) und Ergänzungen sehr freuen. --FerdiBf (Diskussion) 09:12, 31. Okt. 2024 (CET)

Was wäre, wenn man für den Kugelradius $r$ schreibt und für die Länge $|{\overline {PP'}}|$ dann $r'$? Leider habe ich das mit dem neuen Bild nicht wirklich verstanden... Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 09:31, 31. Okt. 2024 (CET)

Ich habe das Vorbild für diesen Abschnitt aus der italienischen Wikipedia übernommen. Dabei habe ich allerdings eine letzte Umformung von $\mathrm {d} r\cdot R=AB\cdot r$ zu ${\mathrm {d} r \over r}={AB \over R}$ übersehen (nun ergänzt). Damit wird auch der nachfolgende Satz zur Ähnlichkeit der Dreiecke klar.

@Petrus3743 hast dies nun dankenswerterweise mit einer besser lesbaren Zeichnung verbessert. Allerdings fehlt in dieser Zeichnung die Größe R als Länge von PO bzw. des Radius des Zylinders und der Kugel.

Um die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke noch stärker herauszustellen, könnte man auch das kleine Dreieck farblich hervorheben und sollte es dann im Text analog zur Drehung als $\triangle {ABC}$ statt als $\triangle {ACB}$ bezeichnen. --SchmiAlf (Diskussion) 11:07, 31. Okt. 2024 (CET)

Servus SchmiAlf, mit dem Eintragen des Kugelradius R bin ich gerade dabei. Die Bezeichnung des Dreiecks ist so richtig, denn in der Geometrie werden die Eckpunkte eines Dreiecks generell gegen den Uhrzeigersinn eingetragen – wie übrigens richtigerweise beim Dreieck $\triangle {OPP'}$. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 11:22, 31. Okt. 2024 (CET)

@Petrus3743: Dann müsste es aber für dieses Dreieck OP'P heißen. --SchmiAlf (Dis’kussion) 13:00, 31. Okt. 2024 (CET)

Pardon jetzt habe ich es verstanden! Wird zeitnah korrigiert. D.h. das kleine Dreieck muss auch korrekt bezeichnet und die Formeln angepasst werden.--Petrus3743 (Diskussion) 12:35, 31. Okt. 2024 (CET) erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 17:55, 31. Okt. 2024 (CET)

Vielen Dank erstmal. Mein oben genanntes Problem besteht aber nach wie vor. Überall im Artikel ist $r$ der Kugel- bzw. Zylinderradius, nur an dieser Stelle nicht. Hier wird plötzlich nach $R$ gewechselt und $r$ bekommt eine andere Bedeutung, es ist nun eine Größe, die von 0 bis $R$ läuft. Dieser Wechsel findet sogar mitten im Abschnitt "Oberfläche von Kugel und Zylinder" statt. Wir an dieser Diskussion Beteiligten können das Argument sicher trotzdem verstehen, aber ein mathematisch nicht ausgebildeter Leser, der sich bis hierhin durchgekämpft hat (etwa weil er sich für den Inhalt des historischen Textes von Archimedes interessiert), muss durch den innerhalb des Abschnitts stattfindenden Bezeichnungswechsel eine unnötige Hürde nehmen. Um das zu vermeiden, müssen wir das $r$ im letzten Teil des Abschnitts umbenennen. Oben hat Petrus3743 $r'$ ins Spiel gebracht. Das wäre ein Möglichkeit, $\rho$, $s$ oder $x$ wären drei andere. Nur leider passen dann die Bezeichnungen des letzten Bildes nicht. --FerdiBf (Diskussion) 10:29, 1. Nov. 2024 (CET)

Das ist in der Tat verwirrend. Ich persönlich wäre für $x$, wie bei der Herleitung des Kugelvolumens im Artikel Die Mechanische Methode. --SchmiAlf (Diskussion) 10:50, 1. Nov. 2024 (CET)

Das Bild ist kein Problem, das wird, nach dem die beiden Radien endgültig bestimmt sind, einfach von mir angepasst ... Die Änderung der Bezeichnung $\triangle {POP'}\sim \triangle {CAB}$ der Dreiecke macht für mich keinen Sinn. Das ähnliche große Dreieck ist korrekt mit $\triangle {POP'}$ bezeichnet, d. h. es beginnt mit der Hypotenuse $|{\overline {PO}}|$ und der kleinen Kathete $|{\overline {OP'}}|$. Das sollte auch beim ähnlichen kleinen Dreieck mit Hypotenuse $|{\overline {AB}}|$ und kleine Kathete $|{\overline {BC}}|$ sein, folgerichtig ergibt dies m.E. $\triangle {POP'}\sim \triangle {ABC}$, denn das kleine Dreieck $\triangle {ABC}$ ist nur um $90^{\circ }$ zum großen, im Uhrzeigersinn gedreht. --Petrus3743 (Diskussion) 10:55, 1. Nov. 2024 (CET)

Frage: Wenn das Bild eine Halbkugel und einen Halbzylinder zeigt, sollte dies nicht auch im Fließtext so beschrieben sein?--Petrus3743 (Diskussion) 12:02, 1. Nov. 2024 (CET)

Ich würde nun folgenden Text vorschlagen, die Änderungen beschreibe ich anschließend:

Betrachten wir zwei horizontale Ebenen mit einem verschwindend kleinen Abstand $d$ voneinander, die die Oberflächen der Halbkugel und des Zylinders wie in der Abbildung schneiden. Der Radius des Schnittkreises der oberen Ebene mit der Halbkugel ist $x$, und wir stellen uns $x$ als eine Zahl vor, die zwischen 0 und dem Radius $r$ liegt. Wir zeigen, dass die Mantelfläche des Elementarzylinders der Höhe $A'B'=d$ gleich der Fläche ist, die durch die Drehung des Segments $AB$ um die Achse $OP^{\prime }$ erzeugt wird, d. h.

$d\cdot 2\pi r=AB\cdot 2\pi x$

was zu $d\cdot r=AB\cdot x$ bzw. ${d \over AB}={x \over r}$ äquivalent ist.

Änderungen:

1. Kugel --> Halbkugel, wie von Petrus3743 angeregt. Der Zylinder ist allerdings kein Halbzylinder, sondern nur eine Hälfte eines größeren Zylinders, aber immer noch ein Zylinder
2. Der Kugelradius ist nun $r$, in der Zeichnung müsste das $R$ entsprechend geändert werden.
3. Die Größe $r$ heißt nun $x$, wie von Petrus3743 bevorzugt, das müsste in der Zeichnung geändert werden.
4. Der Abstand der Ebenen ist nun einfach $d$, auch das müsste in der Zeichnung angepasst werden. Warum nicht $dx$? Na ja, $dx$ klingt nach einem infinitesimalen Anteil von $x$, ist es aber nicht, denn es steht senkrecht dazu. (Das war auch vorher mit $r$ und $dr$ nicht schön).
5. Das Verhältnis der Strecken habe ich zu ${d \over AB}={x \over r}$ geändert, denn das liest man sofort ab. Es ist das Verhältnis Gegenkathete/Hypotenuse der sich entsprechenden Winkel $\angle ABC$ und $\angle POP'$. (Das könnte man im Text auch noch ergänzen.)--FerdiBf (Diskussion) 13:03, 1. Nov. 2024 (CET)

das finde ich gut so, voll einverstanden --SchmiAlf (Diskussion) 09:48, 2. Nov. 2024 (CET)

Das Bild ist jetzt dementsprechend angepasst. Bitte jetzt zeitnah Text anpassen.--Petrus3743 (Diskussion) 12:29, 2. Nov. 2024 (CET)

erledigt --SchmiAlf (Diskussion) 12:40, 2. Nov. 2024 (CET)

Vielen Dank!--FerdiBf (Diskussion) 12:47, 2. Nov. 2024 (CET)

Bravo, so ist es richtig, einfach als Team arbeiten! Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 20:03, 2. Nov. 2024 (CET)