Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P,Q\in K[T]$ zwei Polynome.

Dann gibt es ein Polynom ${}F\in K[X,Y]$, ${}F\neq 0$, mit ${}F(Q,P)=0$. D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve ${}C=V(F)$.

Wenn ${}K$ unendlich ist und ${}(P,Q)$ nicht beide konstant sind, so ist der Zariski-Abschluss des Bildes eine irreduzible Kurve ${}C$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen