Libro de los Lemas
| Libro de los Lemas | ||
|---|---|---|
| de Arquímedes | ||
 La primera página del Libro de los Lemas como se ve en Los Trabajos de Arquímedes (1897) | ||
| Tema(s) | Geometría euclídea | |
| Edición original en griego antiguo | ||
| Fecha de publicación | Del orinal griego, recompilado por Thábit ibn Qurra (826-921); traducción latina ("Liber Assumptorum") en 1661 | |
El Libro de los Lemas es una obra atribuida a Arquímedes por el geómetea árabe Thábit ibn Qurra, aunque su autoría es cuestionable. Consiste en quince proposiciones (lemas) sobre círculos.[1]
Historia
[editar]Traducciones
[editar]El Libro de los Lemas fue introducido por primera vez en árabe por Thábit ibn Qurra; quien atribuyó el trabajo a Arquímedes. En 1661, el manuscrito árabe fue traducido al latín por Abraham Ecchellensis y editado por Giovanni A. Borelli. La versión latina se publicó bajo el título de Liber Assumptorum.[2] Thomas Heath tradujo el trabajo latino de Heiburg al inglés en The Works of Archimedes.[3][4]
Autoría
[editar]La autoría original del Libro de los Lemas ha sido cuestionada porque en la proposición cuatro, el libro se refiere a Arquímedes en tercera persona; sin embargo, se ha sugerido que esta afirmación pudo haber sido agregada por el traductor.[5] Otra posibilidad es que el Libro de los Lemas sea una colección de proposiciones de Arquímedes que luego fuera recopilada por un escritor griego.[1]
Nuevas figuras geométricas
[editar]El Libro de los Lemas presenta varias figuras geométricas nuevas:
Arbelos
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Arquímedes presentó por primera vez el arbelos en la proposición cuatro de su libro:
Si AB es el diámetro de un semicírculo y N cualquier punto en AB, y si los semicírculos se describen dentro del primer semicírculo y tienen AN y BN como diámetros respectivamente, la figura incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es lo "que Arquímedes llamado αρβηλος"; y su área es igual al círculo con PN como diámetro, donde PN es perpendicular a AB y se encuentra con el semicírculo original en P.[1]
La figura se usa en las proposiciones cuatro a ocho. En la proposición cinco, Arquímedes presenta los círculos gemelos de Arquímedes, y en la proposición ocho, utiliza lo que sería la cadena de Papo, introducida formalmente por Papo de Alejandría.
Salinon
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Arquímedes presentó por primera vez el salinon en la proposición catorce de su libro:
Sea ACB un semicírculo con AB como diámetro, de manera que AD, BE tengan la misma longitud medida a lo largo de AB desde A y B, respectivamente. Con AD y BE como diámetros, trazar los semicírculos en el lado hacia C, y con DE como diámetro, un semicírculo en el lado opuesto. Ahora, trazar la perpendicular a AB a través de O, el centro del primer semicírculo, para que se encuentre con los semicírculos opuestos en C y F respectivamente. Entonces, el área de la figura delimitada por las circunferencias de todos los semicírculos será igual al área del círculo con CF como diámetro.[1]
Arquímedes demostró que es posible construir un círculo con igual área que un salinón.
Proposiciones
[editar]La demostración completa de estas quince proposiciones se puede encontrar en una publicación de la Real Sociedad Matemática Española en el enlace siguiente: "El Libro de los Lemas":[6]
- Si dos círculos se tocan en A, y si CD, EF son diámetros paralelos, ADF es una línea recta.
- Sea AB el diámetro de un semicírculo, y las tangentes a él en B y en cualquier otro punto D se encuentren en T. Si ahora DE se dibuja perpendicular a AB; y si AT y DE se encuentran en F, entonces DF=FE.
- Sea P cualquier punto en un segmento de un círculo cuya base es AB, y sea PN perpendicular a AB. Tómese D en AB para que AN=ND. Si ahora PQ es un arco igual al arco PA, y se une BQ, entonces BQ y BD serán iguales.
- Si AB es el diámetro de un semicírculo y N cualquier punto en AB, y si los semicírculos se describen dentro del primer semicírculo y tienen AN y BN como diámetros respectivamente, la cifra incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es "lo que Arquímedes llamó αρβηλος" (salinón); y su área es igual al círculo con PN como diámetro, donde PN es perpendicular a AB y se encuentra con el semicírculo original en P.
- Sea AB el diámetro de un semicírculo, C cualquier punto en AB y CD perpendicular a él, y sean los semicírculos dentro del primer semicírculo con AC y CB como diámetros. Luego, si se dibujan dos círculos tocando CD en lados diferentes y cada uno toca dos semicírculos, los círculos así dibujados serán iguales.
- Sea AB el diámetro de un semicírculo, y se divide en C para que AC=3/2×CB [o en cualquier proporción]. Trácense los semicírculos dentro del primer semicírculo y en AC y CB como diámetros, y supóngase un círculo dibujado tocando los tres semicírculos. Si GH es el diámetro de este círculo, permite encontrar la relación entre GH y AB.
- Si los círculos están circunscritos e inscritos en un cuadrado, el círculo circunscrito tiene el doble de área que el inscrito.
- Si AB es cualquier cuerda de un círculo cuyo centro es O, y si AB se tiende a C para que BC sea igual al radio; si además CO se encuentra con el círculo en D y se ajusta para tocarse con el círculo la segunda vez en E, el arco AE será igual a tres veces el arco BD.
- Si en un círculo dos cuerdas AB, CD que no pasan por el centro se cruzan en ángulo recto, entonces (arco AD)+(arco CB)=(arco de CA)+(arco DB).
- Supóngase que TA, TB son dos tangentes a un círculo, mientras que TC lo corta. Sea BD la cuerda a través de B paralelo a TC, y AD se encuentre con TC en E. Entonces, si EH se dibuja perpendicular a BD, se bisecará en H.
- Si dos cuerdas AB, CD en un círculo se cruzan en ángulo recto en un punto O, no siendo el centro, entonces AO2+BO2+CO2+DO2=(diámetro)2.
- Si AB es el diámetro de un semicírculo, y TP, TQ las tangentes a él desde cualquier punto T, y si AQ, BP se unen reuniéndose en R, entonces TR es perpendicular a AB.
- Si un diámetro AB de un círculo cumple con cualquier cuerda CD, no un diámetro, en E, y si AM, BN se dibuja perpendicular a CD, entonces CN=DM.
- Sea ACB un semicírculo en AB como diámetro, teniendo AD, BE la misma longitud medida a lo largo de AB desde A, B, respectivamente. Con AD, BE como diámetros, trazar semicírculos en el lado hacia C, y con DE como diámetro, un semicírculo en el lado opuesto. Sea la perpendicular a AB a través de O, el centro del primer semicírculo, que se encuentra con los semicírculos opuestos en C y F respectivamente. Entonces, el área de la figura delimitada por las circunferencias de todos los semicírculos será igual al área del círculo con CF como diámetro.
- Sea AB el diámetro de un círculo, AC un lado de un pentágono regular inscrito, D el punto medio del arco AC. Únase CD y generar BA generado en E; cortar AC y DB en F y dibujar FM perpendicular a AB. Entonces EM = (radio del círculo).[1]
Referencias
[editar]- ↑ a b c d e Heath, Thomas Little (1897), The Works of Archimedes, Cambridge University: University Press, pp. xxxii, 301-318, consultado el 15 de junio de 2008.
- ↑ «From Euclid to Newton». Brown University. Archivado desde el original el 24 de febrero de 2008. Consultado el 24 de junio de 2008.
- ↑ Aaboe, Asger (1997), Episodes from the Early History of Mathematics, Washington, D.C.: Math. Assoc. of America, pp. 77, 85, ISBN 0-88385-613-1, consultado el 19 de junio de 2008.
- ↑ Glick, Thomas F.; Livesey, Steven John; Wallis, Faith (2005), Medieval Science, Technology, and Medicine: An Encyclopedia, New York: Routledge, p. 41, ISBN 0-415-96930-1, consultado el 19 de junio de 2008.
- ↑ Bogomolny, A. «Archimedes' Book of Lemmas». Cut-the-Knot. Consultado el 19 de junio de 2008.
- ↑ Óscar Ciaurri Ramírez∗. «El Libro de los Lemas: Un ejercicio de visualización». La Gaceta de la RSME, Vol. 17 (2014), Núm. 2, Págs. 221–245. Consultado el 11 de abril de 2020.
Enlaces externos
[editar]- "Liber assumptorum" (Guirnalda matemática); completa información sobre la historia del libro
