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Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su opuesta, es decir vale la relación A T = -A .
Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas) :
A
=
[
a
11
a
12
a
13
⋯
a
1
n
a
21
a
22
a
23
⋯
a
2
n
a
31
a
32
a
33
⋯
a
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
a
m
3
⋯
a
m
n
]
{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{array}}\right]}
es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n ) y
a
j
i
=
−
a
i
j
{\displaystyle a_{ji}=-a_{ij}}
i , j =1,2,3,...,n . En consecuencia,
a
i
i
=
0
{\displaystyle a_{ii}=0}
i . Por lo tanto, la matriz A asume la forma:
A
=
[
0
a
12
a
13
⋯
a
1
n
−
a
12
0
a
23
⋯
a
2
n
−
a
13
−
a
23
0
⋯
a
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
−
a
1
n
−
a
2
n
−
a
3
n
⋯
0
]
{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccccc}0&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\-a_{12}&0&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\-a_{13}&-a_{23}&0&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&\cdots &0\\\end{array}}\right]}
La matriz
A
=
[
0
−
2
4
2
0
2
−
4
−
2
0
]
{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}{0}&{-2}&{4}\\{2}&{0}&{2}\\{-4}&{-2}&{0}\\\end{array}}\right]}
es antisimétrica, ya que
A
T
=
[
0
2
−
4
−
2
0
−
2
4
2
0
]
=
−
A
{\displaystyle A^{T}=\left[{\begin{array}{rrr}{0}&{2}&{-4}\\{-2}&{0}&{-2}\\{4}&{2}&{0}\\\end{array}}\right]=-A}
matriz traspuesta de la matriz antisimétrica A es -A , y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal .
Si n =m es impar el determinante de la matriz siempre será 0
[ editar ] Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:
A
=
1
2
(
A
+
A
T
)
+
1
2
(
A
−
A
T
)
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)}
donde la parte antisimétrica es
1
2
(
A
−
A
T
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)}
Demostración
Se utilizan las propiedades de la transposición .
(
1
2
(
A
−
A
T
)
)
T
=
1
2
(
A
−
A
T
)
T
=
1
2
(
A
T
−
(
A
T
)
T
)
=
1
2
(
A
T
−
A
)
=
−
1
2
(
A
−
A
T
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left({\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)\right)^{T}&=&{\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)^{T}={\frac {1}{2}}\left(A^{T}-\left(A^{T}\right)^{T}\right)\\&=&{\frac {1}{2}}\left(A^{T}-A\right)=-{\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)\end{array}}}
Queda entonces demostrado por definición que
1
2
(
A
−
A
T
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)}
Datos: Q526790